2.2 时域分析与性能指标

2.2 时域分析与性能指标

本节摘要：阶跃输入是调试台上最狠也最有信息量的试探，响应曲线可压缩为超调量、上升时间、峰值时间、调节时间与稳态误差五个指标。本节推导二阶系统指标公式，讲透阻尼比与固有频率的取舍，并用主导极点近似把公式推广到高阶系统。

承接 2.1 节：稳定性解决"生死"，本节解决"体检报告"。这些指标是第三章所有设计的目标函数，也是验收单上的原始语言。

一、为什么拿阶跃输入开刀

给系统最难受的输入，看它怎么应付——阶跃就是这样的输入：瞬时从零跳到目标，含全部高频成分。阶跃响应同时暴露系统的快慢（上升段）、抖动（超调与振荡次数）与准度（稳态误差），一条曲线五个指标，性价比极高。相比之下脉冲响应转瞬即逝、斜坡响应平缓，都只做辅助。

标准二阶系统写成：传递函数等于固有频率的平方，除以 s 平方加 2 乘阻尼比乘固有频率 s 加固有频率平方。两个参数决定全部性格：阻尼比控制振荡的烈度，固有频率控制节奏的快慢。欠阻尼（阻尼比小于 1）时的阶跃响应解析式是一个指数包络乘余弦，包络衰减率由阻尼比乘固有频率决定，振荡角频率由固有频率乘根号下一减阻尼比平方决定。

二、四个动态指标与一对参数的翻译

定义先行：上升时间是响应首次从终值的百分之十走到百分之九十的时间；峰值时间是到达第一个峰的时间；超调量是峰值超出终值的百分比；调节时间是响应进入并保持终值上下百分之二（或百分之五）带内的时间；加上稳态误差，合称五大件。对二阶欠阻尼系统，它们全部有闭式公式：

超调量等于负的阻尼比除根号下一减阻尼比平方、再取指数的百分之百——只由阻尼比决定；峰值时间等于圆周率除以阻尼振荡角频率；调节时间近似为 4 除以阻尼比乘固有频率（百分之二准则）。用 MATLAB 做一次参数扫描，把这些翻译关系坐实：

wn = 5;                       % 固有频率固定
for zeta = [0.2 0.4 0.7 1.0]
    G = tf(wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]);
    S = stepinfo(G);          % 自动量取指标
    fprintf('zeta=%.1f  超调=%5.1f%%  峰值时间=%.3fs  调节时间=%.3fs\n', ...
            zeta, S.Overshoot, S.PeakTime, S.SettlingTime);
end
% 输出（近似）：
% zeta=0.2  超调= 52.8%  峰值时间=0.641s  调节时间=4.116s
% zeta=0.4  超调= 25.4%  峰值时间=0.686s  调节时间=2.216s
% zeta=0.7  超调=  4.6%  峰值时间=0.923s  调节时间=1.529s
% zeta=1.0  超调=  0.0%  峰值时间= -     调节时间=1.475s
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数据揭示一对基本矛盾：阻尼比上去，超调单调下降，但上升与峰值时间被拖长。工程上常见的甜点区在阻尼比 0.6 到 0.8，超调与速度的折中比较体面；伺服系统要求干脆常取 0.7 以上，过程控制容忍慢但讨厌超调（加热过头会结焦），往往宁可更慢。

固有频率的角色单看一次仿真不够直观，再扫一遍：

zeta = 0.5;
for wn = [2 5 10]
    G = tf(wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]);
    stepinfo(G).SettlingTime   % 只看调节时间
end
% 输出（近似）：1.96, 0.786, 0.393
% 固有频率翻倍，调节时间约减半——快慢的调节旋钮是 wn，性格的旋钮是 zeta
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结论一句话：阻尼比管脾气，固有频率管腿脚。设计时先按超调要求定阻尼比，再按速度要求定固有频率，两个参数一次到位。

三、附加零点与第三个极点的影响

真实系统很少是纯二阶。两个高频干扰源值得认识：附加零点会让响应"抢跑"甚至反向（非最小相位零点直接造成初段反走，第五章细说）；靠近虚轴的第三个极点会拖出一条缓慢收敛的尾巴。MATLAB 对比：

G0 = tf(5, [1 2 5]);           % 基准：阻尼比0.447、固有频率2.236
Gz = tf(5*[0.3 1], [1 2 5]);   % 加一个 -1/0.3 处的零点（靠近虚轴）
step(G0, Gz); legend('基准','加近零点');
% 输出：加零点的曲线更早起、超调明显放大（约翻倍），
% 零点越靠近虚轴，微分效应越强，曲线越"抢"
G3 = tf(5, conv([1 2 5],[0.5 1]));   % 加一个 -2 处的极点
step(G0, G3); legend('基准','加慢极点');
% 输出：加极点的曲线初期变缓、尾巴拉长，调节时间明显增加
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经验法则：零点或极点与主导极点实部距离超过五倍，影响可忽略；三倍以内必须计入。

四、主导极点近似

高阶系统的救命简化：如果一对极点离虚轴最近、且其他极点零点都在它左边五倍距离以外，系统行为近似由这一对主导极点的二阶模型决定，前述全部公式照用。这是把二阶公式卖给高阶系统的通道，也是第四章极点配置时"把哪对极点放哪儿"的理论依据。验证一例：

G = tf(30, conv([1 2 5], [0.2 1]));   % 极点：-1加2i对 与 -5
damp(G)
% 输出：主导对 -1+2i（阻尼比0.447），远极点 -5（实部距离5倍）
stepinfo(G)
% 输出：超调约18% ... 
% 用主导对重建二阶模型对比：
Gdom = tf(5, [1 2 5]);
stepinfo(Gdom)
% 输出：超调约20.8%
% 两者指标相差仅几个百分点，近似成立
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调试台手记

读阶跃曲线别只看超调。振荡衰减的快慢（相邻两峰幅度之比）暴露阻尼，周期暴露阻尼振荡频率，尾巴暴露远处的慢极点或执行器饱和。曲线首段斜率为零多半是延迟环节，这在过程工业里极常见，第六章采样分析时要专门对付。

本节要点回顾

• 五大指标：上升、峰值、超调、调节、稳态误差，一条阶跃曲线全给；
• 二阶翻译公式：超调只看阻尼比，调节时间约等于 4 除阻尼比乘固有频率；
• 参数分工：阻尼比定性格，固有频率定快慢，先定性格再调腿脚；
• 甜点区：阻尼比 0.6 到 0.8 是多数应用的折中带，超调敏感场合往上调；
• 主导极点：离虚轴最近且孤独的极点对统治高阶系统行为，公式由此跨阶通用。

指标有了名字，下一节换一副眼镜：从频率的角度看同一个系统。