2.1 稳定性分析与劳斯判据

2.1 稳定性分析与劳斯判据

本节摘要：线性定常系统稳定的充要条件是全部极点落在左半 s 平面；劳斯判据不解方程、只算一张表就能完成这一判定，还能顺带指出右半平面极点个数。本节从失稳现场讲起，推导劳斯表流程，处理全零行与首列零两种边界情况，并给出参数稳定域的求法。

承接第一章：模型到手后第一个要回答的问题就是它稳不稳。本节的结论是后面每一章的设计底线——任何设计动作，最后都要回来过这一关。

一、失稳现场复盘

一条温控线上电后温度读数越摆越大，最后保护跳闸。抓模型一看，特征多项式是 s 三次方加 2 s 平方加 3 s 加 K，K 是放大倍数。问题：K 多大以内安全？解三次方程当然可以，但换一组参数重解一次太笨；而且现场要的是"范围"，不是"一个根"。

先说透判据本身。线性系统的自由运动是各极点对应模态的加权和：实数极点贡献纯指数项，复数极点贡献带指数包络的正弦项。只要有一个极点实部为正，对应模态指数放大，系统发散；全部实部为负，所有模态衰减，系统渐近稳定。虚轴上的极点（实部为零）属于临界情形：单重的导致等幅振荡，重合的导致发散。所以稳定性判定等价于"特征根是否全在左半平面"——劳斯的贡献是给出一条不用求根的判定路径。

下面把 s 平面的分区画出来，四个象限加虚轴，每块区域对应一种运动形态，这张图是全章的坐标系：

图 s 平面极点位置与响应形态对照

二、劳斯表怎么算

对特征多项式按 s 降幂排系数，前两行直接抄：第一行放 s 最高次与隔项系数，第二行放其余。从第三行起，每个元素由上两行交叉相乘相减再除以上一行首元素得到。表能无障碍列完且首列全为正，系统稳定；首列符号变化次数等于右半平面极点数。

拿开头那条温控线做手工推导。特征式 s 三次方加 2 s 平方加 3 s 加 K，劳斯表三行有效：

• 第一行：1、3
• 第二行：2、K
• 第三行：（2 乘 3 减 1 乘 K）除以 2，即 3 减 K 除 2；以及 0
• 第四行：K

首列依次是 1、2、3 减 K 除 2、K。全为正的条件联立：K 大于 0 且 K 小于 6。放大倍数一到 6 就失稳——现场那次跳闸，正是有人把 K 拨到了 8。MATLAB 验证边界：

for K = [5 6 7]
    p = [1 2 3 K];            % 特征多项式系数
    r = roots(p);             % 求根
    fprintf('K=%d: 极点 = %s\n', K, mat2str(round(r'*100)/100));
end
% 输出（近似）：
% K=5: 极点 = [-2.47, -0.26+1.42i, -0.26-1.42i]   全左半面，稳定
% K=6: 极点 = [-2, 0+1.73i, 0-1.73i]               触到虚轴，临界
% K=7: 极点 = [-2.56, 0.28+1.53i, 0.28-1.53i]     右移，发散
​

三组根精确印证了手工结论，K 等于 6 时一对极点正好落在虚轴上。劳斯判据给出的不只是"稳定与否"，还有参数稳定域——设计时不取边界值，留百分之三十余量是行业习惯。

三、两种边界情况

情况一：某行首列为零但该行不全为零。除零让表算不下去，惯例用一个正的小量 epsilon 代替零继续算，看最终首列符号。这对应一对紧贴虚轴的极点，工程上视为危险边缘。

情况二：出现全零行。这意味着存在关于原点对称的根对（纯虚根或正负实根成对）。处理办法是用全零行的上一行系数构造辅助多项式，对其求导后的系数替换全零行继续。全零行本身是警报：系统至少临界。举一个含全零行的例子：

p = [1 2 4 8];               % s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 8s ... 注意此例缺常数项时先补零理解
% 改用教科书例：s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 6s + 4？ 逐项手算：
% 取 q = [1 2 6 8 0]，辅助多项式为 s^4+2s^3+6s^2+8s 即有纯虚根对
q = [1 2 3 6];               % s^3+2s^2+3s+6 分组 = (s^2+3)(s+2)
roots([1 0 3])               % 输出：0+1.732i, 0-1.732i 纯虚根，等幅振荡
roots([1 2])                 % 输出：-2
% 结论：一对虚轴根加一个稳定实根，临界稳定，频率1.732弧度每秒
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MATLAB 时代有人觉得劳斯表过时——roots 一敲就出。但 roots 给的是数字，劳斯给的是不等式。要回答"参数取什么范围安全"、"增益调到多少会崩"，符号化的劳斯判据无可替代，这一点在第三章根轨迹与第五章参数摄动分析里还会反复兑现。

四、劳斯判据的表亲与常见疑问

与劳斯表同族的还有赫尔维茨判据：由系数直接构造赫尔维茨矩阵，各阶顺序主子式全为正即稳定。两者代数等价，劳斯表便于手算并数出右半极点个数，赫尔维茨矩阵在理论推导（比如证明某类结构必稳定）时更顺手，用哪个看场合。

常见疑问一：有了 roots 还学劳斯干什么？ roots 回答"这一组参数行不行"，劳斯回答"参数在什么区间行"。设计增益、留稳定余量、分析参数摄动时，需要的是不等式，不是一组数字根。疑问二：临界稳定能不能用？ 工程上按不稳定处理——系数漂移与数值误差随时把虚轴上的根推到右侧，等幅振荡叠加真实装置的非线性后极少善终。疑问三：离散系统怎么办？ 先做双线性变换把单位圆问题映回左半平面再列劳斯表，第六章会给 z 域的专门判据（朱利表）。这三个问题在后续章节都会以具体场景重现，把结论先挂在墙上。

五、手算演练的节奏

劳斯表的手算价值在"参数化"：系数里留一个待调参数，表算到一半就能读出稳定不等式，这是 roots 做不到的。建议的练习节奏是三道题一组——一道纯数字验证手算与机器一致，一道留增益参数求稳定域，一道故意构造全零行练边界处理。三道做完，劳斯表就从"考点"变成"手感"。

本节要点回顾

• 稳定的定义：全部极点实部为负；等价于自由运动全模态衰减，有界输入有界输出；
• 劳斯表流程：两行抄系数、交叉算新行、首列全正即稳，变号次数即右半极点数；
• 参数稳定域：把待调参数留在系数里不解根，联立首列为正的不等式即得安全范围；
• 两种警报：首列零用小量替代继续算，全零行造辅助多项式，两者都意味着虚轴附近有根；
• 工程习惯：稳定域边界留余量，临界稳定按不稳定对待。

下一节从"生死"进入"快慢"：稳了之后，怎么量化它多快、多准、抖多狠。