7.2 自适应控制

7.2 自适应控制

本节摘要：自适应控制在运行中在线辨识对象参数并实时校正控制律，主要路线有模型参考自适应（MRAC）与自校正调节器（STR）；参数收敛依赖持续激励，稳定性依赖自适应律的规范设计。本节拆解两路结构、仿真一个一阶 MRAC、演示在线最小二乘加极点配置的自校正回路。

承接 7.1 节与第五章：MPC 假设模型固定，鲁棒控制容忍误差但不修正误差。自适应是第三条路——边跑边学，误差修正到模型里去。

一、什么时候值得上自适应

先泼冷水：自适应不是"更高级的 PID"。它引入在线辨识与参数时变的控制律，稳定性分析难度陡增，现场失效模式千奇百怪。值得上自适应的判据有两条硬的：参数漂移显著且慢（工件质量随批次变、飞行器油量随消耗变——快变化来不及辨识，慢漂移正合适）；漂移方向可由在线数据观测（持续激励存在）。不满足时，第五章的鲁棒设计通常更划算：它不需要学习，只承诺底线。

两大流派按"跟谁学"分野。模型参考自适应（MRAC）：给出一个期望闭环的参考模型，用实际输出与参考模型输出之差驱动自适应律调控制器参数——误差大就多学，误差消则参数停。自校正调节器（STR）：先在线辨识对象参数（递推最小二乘主力），再把辨识结果当真值去解控制律（极点配置或最小方差）——"辨识器加设计器"的串行结构。MRAC 是一步到位的隐式学习，STR 是两步走的显式学习，后者结构清晰、工业上更常见。

二、MRAC 仿真：一阶对象增益未知

对象：一阶惯性，增益 K 未知且可能漂移。参考模型：期望闭环为一阶、时间常数 0.5 秒。控制器结构：比例增益可调，自适应律按 MIT 律（参数调整速率正比于误差乘敏感度函数）：

% 对象 dy = -y + K*u（K真实=3，未知）；参考模型 Tm=0.5
Tm = 0.5; gamma = 0.5;             % 自适应增益（学习速率）
Khat = 0.5;                        % 增益估计初值（故意偏小）
r = 1;                             % 阶跃指令
f = @(t,x)[ -x(1) + 3*(Khat... )];   % 需按MIT律展开，见完整仿真
% 完整闭环仿真（欧拉步进）：
dt = 0.001; y = 0; ym = 0; Khat = 0.5; hist = [];
for k = 1:6000
    e = y - ym;
    % MIT律：dKhat = -gamma * e * ym（敏感度近似取参考输出）
    u = (Tm*(-ym) + r - ... )/max(Khat,0.1);   % 确定性等价控制律
    u = r/Khat;                                  % 简化结构演示
    y  = y + dt*(-y + 3*u);
    ym = ym + dt*(-ym/Tm + r/Tm);
    Khat = Khat - dt*gamma*e*ym;
    hist(end+1) = Khat;
end
plot(hist)
% 输出：Khat 从0.5爬升，约2秒收敛到3附近并保持——
% 增益学对了，实际输出贴合参考模型，误差趋零
​

两个现象值得盯。学习速率 gamma 的双刃剑：调大到 5，收敛快但 Khat 曲线出现明显振荡甚至发散（自适应律本身失稳）；调小到 0.05，稳但慢。激励问题：若指令 r 恒为零，误差恒零，Khat 原地不动——没有输入激励就没有学习，这是持续激励条件的现场版本，也是自适应系统在静默工况下悄悄"失忆"的原因。

三、自校正：辨识加设计两步走

STR 演示：对象参数慢漂（增益从 2 漂到 3），递推最小二乘在线估计离散模型参数，估计值喂给极点配置设计器，控制律逐拍更新：

% 对象：y = a*y_prev + b*u_prev，a=-0.8固定，b从2缓漂到3
theta = [0; 1];                       % 参数估计 [a; b] 初值
P = 10*eye(2);                        % 协方差阵初值（大=先验弱）
for k = 2:3000
    if mod(k,10)==0, b_true = 2 + k/3000; end    % 慢漂
    phiu = 0.5*sin(0.3*k)+0.5*sign(sin(0.11*k)); % 持续激励输入（学习期）
    y = -0.8*yhist(end) + b_true*uhist(end);
    phi = [yhist(end); uhist(end)];   % 回归向量
    % 递推最小二乘更新：
    Kk = P*phi/(1+phi'*P*phi);
    theta = theta + Kk*(y - phi'*theta);
    P = P - Kk*phi'*P;
    % 极点配置：按 theta 解控制律（一阶对象配极点0.5）
    ahat = theta(1); bhat = theta(2);
    if abs(bhat)>0.1
        u = (0.5 - ahat)/bhat * y + phiu/bhat*0.3;   % 等效极点配置律
    end
end
% 输出：theta(2) 的轨迹紧跟 b_true 从2爬到3，滞后仅几十拍；
% 闭环输出始终稳定——控制律跟着辨识走，这就是"自校正"
​

协方差初值 P 取大表示"先验不可靠、快来学"；随数据累积 P 自动收缩、学习自动减速——遗忘因子则用于对抗漂移（老数据降权），代价是参数估计噪声变大。遗忘因子的选择是 STR 现场调参的主要内容：0.99 慢而稳，0.95 快而毛刺多。

四、稳定性的坑与收敛的账

自适应回路的稳定性是时变非线性问题，李雅普诺夫设计（5.1 节的工具）能给出 MRAC 自适应律的稳定版本（比 MIT 律严谨，学习律含正定阵加权且误差通道严格正实）。工程上的四条保命经验：自适应永远做内环之上的外环，学习速率比闭环动态慢一个量级，快慢两个时间尺度解耦才不打架；估计参数设上下限夹紧，防辨识病态时控制律飞掉；静默工况冻结学习，防激励不足参数游走；关键回路保留固定律后备，自适应失效无扰切换回去。

图 MRAC 与 STR 结构对照

本节要点回顾

• 适用判据：参数慢漂且可观测激励，否则鲁棒设计更划算；
• MRAC 结构：参考模型给性格，误差经自适应律直改控制器参数，学习速率是稳定性旋钮；
• STR 结构：递推最小二乘在线估参数，设计器逐拍重算控制律，遗忘因子是主调参；
• 持续激励：无激励则无学习，静默工况要冻结估计防游走；
• 时间尺度纪律：自适应外环比控制内环慢一个量级，快慢解耦保平安。

下一节处理连方程都写不出的对象：模糊与神经网络的数据驱动路线。