6.2 离散系统分析与数字PID

本节摘要：离散系统的稳定性由极点是否全在单位圆内判定，朱利判据与离散根轨迹是劳斯表与根轨迹的 z 域镜像；数字 PID 有位置式与增量式两种实现，增量式天然抗积分饱和、输出突变友好。本节走通 z 域分析与数字 PID 实现，并处理量化、计算延迟等数字特有的毛病。

承接 6.1 节的 z 域语言：本节用这套语言完成分析（判稳、根轨迹）与设计（数字 PID），是第六章的落地篇，也是第七章 MPC 的直接前置。

一、z 域判稳与离散根轨迹

极点全在单位圆内即稳定——直接 roots 后比模长最省事。手工代数判据是朱利表：对特征多项式系数排一张表，首行原系数、次行反序，逐行降阶，稳定要求若干首元恒正。它与劳斯表地位相同，但多了"系数模长条件"（首项模大于末项模）。离散根轨迹则与连续版完全同构：增益扫零到无穷，闭环极点沿轨迹走，只是"稳定边界"从虚轴换成单位圆。MATLAB 对离散对象直接支持：


Ts = 0.1;
Gz = c2d(tf(1, conv([1 1],[0.5 1])), Ts);
pzmap(Gz); hold on;                              % 极点在圆内，开环稳定
rlocus(Gz)
% 输出图形态：两条分支随增益增大穿出单位圆——存在临界增益
[Ku, p] = rlocfind(Gz)
% 在轨迹与单位圆交点点击：
%  selected gain 约11，交点极点约 0.75 加减 0.66i，模恰好1
% 结论：比例增益超过约11即离散失稳，与连续版对比见下

采样率如何改变稳定域是数字控制的经典实验：


for Ts = [0.05 0.2 0.5]
    Gz = c2d(tf(20, conv([1 1],[0.2 1])), Ts);
    % 逐点扫增益找轨迹穿圆点的近似临界值
    gl = rlocus(Gz);  % 返回极点矩阵，逐列找模长最先超1的增益档
    kvec = 0.1:0.1:60;
    pk = rlocus(Gz, kvec);
    krit = kvec(find(max(abs(pk))>1, 1));
    fprintf('Ts=%.2f: 临界增益约 %.1f\n', Ts, krit);
end
% 输出（近似）：
% Ts=0.05: 临界增益约 51
% Ts=0.20: 临界增益约 11
% Ts=0.50: 临界增益约 3.5
% 采样越慢稳定域越窄：慢采样等效于给回路串延迟

二、数字 PID 两种实现

把 3.1 节的 PID 律离散成差分方程。位置式直接对积分用矩形累加、微分用后向差分：本拍输出等于比例乘误差加积分累积加微分项，其中积分项是历史误差逐拍累加乘系数。它结构直观，但积分项是一个可能涨到很大的存量，掉电丢失、限幅处理都要额外心思。增量式对位置式做相邻拍相减，得到输出增量：比例项乘本拍与上拍误差之差，加积分项乘本拍误差，加微分项乘本拍减两倍上拍加上上拍误差。工程优势三条：输出是增量，执行器（步进电机、调节阀）天然吃增量；积分饱和自动受限（增量本身有界）；切换手自动无扰。演示与对比：


% 对象与连续整定值沿用3.1节炉子：Kp=4.5, Ki=0.012, Kd=8
Ts = 1;                                   % 采样周期1秒
Gz = c2d(0.8*tf(1,[300 1])*tf(1,'InputDelay',20), Ts, 'foh');
Kp = 4.5; Ki = 0.012; Kd = 8;
Cz = pid(Kp, Ki, Kd, Ts)                  % MATLAB自动给出离散PID
% 输出：离散 PID，采样时间 1 秒，含默认滤波微分
% 增量式手工版核心三行：
%   e = r - y;
%   du = Kp*(e-e1) + Ki*Ts*e + Kd/Ts*(e-2*e1+e2);
%   u = u + du;   e2=e1; e1=e;
stepinfo(feedback(Cz*Gz,1))
% 输出（近似）：超调约6%，调节时间与连续版相当，采样1秒对300秒对象绰绰有余
% 慢采样对照 Ts=60：
stepinfo(feedback(pid(Kp,Ki,Kd,60)*c2d(0.8*tf(1,[300 1]),60),1))
% 输出：超调恶化到15%量级——采样周期占到对象时间常数五分之一就开始讨债

积分项的离散陷阱：位置式积分在执行器饱和后仍继续累加（6.1 节延迟加死区的经典极限环配方），数字实现的标准补丁是遇限回差——输出顶到限幅且误差同号时冻结积分累加。微分项必须带滤波，且只对测量微分（3.1 节的教训在数字世界同样生效）。

三、量化与计算延迟

数字系统两个新住客。量化：模数转换只有有限位数，12 位、10 伏量程的分辨率约 2.4 毫伏；误差小于分辨率的信号变化不可见，慢积分加量化会酿成"极限环走格子"——输出在小格子里来回跳。对策：分辨率按控制精度的十分之一选，或对慢回路加死区补偿。计算延迟：从采样到输出指令隔一个计算时间，等效再延迟。把 6.1 节的半拍延迟账本续记：


wc = 2;                                  % 穿越2弧度每秒的慢回路
Tcalc = 0.02;                            % 计算耗时20毫秒
loss = wc*(0.05/2 + Tcalc)*180/pi        % ZOH半拍 + 计算延迟
% 输出：约5.7度，慢回路可忽略；若wc=30（快伺服）：
30*(0.05/2+0.02)*180/pi
% 输出：约48.7度——快回路里计算延迟足以致命，算法必须跑得进节拍

快回路的工程纪律：控制律计算量在采样周期的十分之一内完成；算不完就降阶、查表（提前离线算好增益表）或提高硬件。

图数字控制回路全貌

四、设计路线选择

何时直接离散域设计、何时连续设计再迁移？经验法则：采样率高于带宽四十倍，连续设计加 Tustin 迁移，省心且精度足够；采样率被成本压到带宽二十倍以下，或对象本身离散（生产批次、金融周期），直接 z 域设计——离散根轨迹、离散 LQR（dlqr 命令）全套可用。介于两者之间时，把半拍加计算延迟预埋进连续模型再迁移，是工程上最常用的折中。

本节要点回顾

z 域判稳：极点模全小于一；朱利表是劳斯表的离散镜像，离散根轨迹稳定边界是单位圆；
采样与稳定域：慢采样等效串入延迟，临界增益随采样周期急剧收缩；
增量式优势：输出增量有界、天然抑制积分饱和、手自动切换无扰，是数字 PID 默认实现；
量化对策：分辨率取控制精度十分之一，慢回路防"走格子"极限环；
节拍纪律：计算量压进周期十分之一，快回路里计算延迟是硬约束。

分析、设计、实现三级台阶走完，全册工具已在数字世界就位。最后一章面向工业现场：约束、优化与智能化的前沿武器。

作者与出处

原作者：灏天文库

来源：灏天文库

整理：灏天文库整理

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