2.2 整数补码与浮点编码
2.2 整数补码与浮点编码
本节摘要：整数用补码存储，让加法器一套电路通吃加减法；有符号溢出是未定义行为，编译器会据此做出反直觉优化。浮点数按 IEEE 754 分成符号、指数、尾数三个位域，换来巨大的表示范围与不可避免的精度损失。本节把两套编码拆到二进制位，并给出工程上的避坑清单。
补码：一套电路通吃加减法
设想只用 4 位存数。补码的规则一句话：负数等于"模减去它的绝对值"。4 位的模是 16，于是 -3 存成 16 - 3 = 13，即二进制 1101；+3 存成 0011。两者相加：
1101 (-3) + 0011 (+3) ------ 10000 丢弃最高进位后得 0000，正是 0
加 -3 与减 3 结果一致，硬件不再需要减法器。这就是补码存在的全部理由：省电路。顺带的礼物还有：0 只有一种表示（反码有 +0 和 -0 两种）。
手工求补码口诀：按位取反再加一。-5 的 8 位补码：5 是 00000101，取反 11111010，加一 11111011，等于十进制 251——所以同一字节按 signed char 读是 -5，按 unsigned char 读是 251。字节没变，滤镜变了。
#include <stdio.h> int main(void) { signed char s = -5; unsigned char u = 251; printf("%d %d\n", s, u); /* -5 251 */ printf("%d\n", (unsigned char)s); /* 251：同一字节的另一面 */ return 0; }
图 1 同一字节的两副面孔与浮点位域
有符号溢出：未定义行为不只是"回绕"
INT_MAX + 1 结果是什么？很多人以为是回绕成 INT_MIN。在补码硬件上确实会回绕，但 C 标准把有符号溢出定义为未定义行为——编译器可以假设它永不发生并据此优化。一个经典案例：
int check_overflow(int a, int b) { if (a + b < a) /* 想靠回绕检测溢出 */ return 1; return 0; }
开 -O2 后，编译器推理"a + b 溢出不可能发生（未定义行为），于是 a + b < a 恒假"，直接返回 0——检测代码被整个删除。无符号数没有这个问题：标准明确无符号运算按模 2 的幂回绕，检测溢出用无符号运算是安全的：
unsigned add_ok(unsigned a, unsigned b, unsigned *r) { *r = a + b; return *r >= a; /* 回绕时结果必然小于 a */ }
⚠️ 常见坑：用有符号算式做溢出检测、或依赖回绕行为——在优化器眼里这俩都不成立。
浮点：范围与精度的交易
IEEE 754 把浮点数存成"科学计数法的二进制版"。float 的 32 位分成 1 位符号、8 位指数、23 位尾数；指数存的是"真实指数 + 127"（移码），尾数省略了开头的 1（规格化数首位恒为 1，不必存）。这套设计换来了夸张的表示范围——float 能表达 10 的 38 次方量级——代价是精度按位分配，不是均匀刻度。
直观验证精度问题：
#include <stdio.h> int main(void) { double a = 0.1 + 0.2; printf("%.17f\n", a); /* 0.30000000000000004 */ printf("%d\n", a == 0.3); /* 0：不相等 */ float f = 16777216.0f; /* 2 的 24 次方 */ printf("%.1f\n", f + 1.0f); /* 16777216.0：加 1 丢失！ */ return 0; }
第二个实验最能说明问题：float 的尾数 23 位加上隐含位共 24 位，2 的 24 次方之后，相邻两个可表示数的间隔变成 2——+1 落进缝隙，被四舍五入回原值。浮点数轴越往大越稀疏，这是位域结构的直接后果。
工程守则：
- 永远不用
==比较浮点，用差值小于容差判断：fabs(a-b) < 1e-9； - 钱用整数（按分存），别用浮点累计；
- 混合比较时注意提升：
float与double运算会先统一成 double，中间精度可能与你预期不同； - 特殊值认识一下：无穷大（指数全 1 尾数全 0）参与比较有确定次序，NaN（尾数非 0）与任何值比较都为假——
x != x为真是 NaN 的判别法。
整数与浮点的转换陷阱
int i = 3000000000 > INT_MAX ? 0 : 0; /* 占位 */ double big = 3e12; int n = (int)big; /* 超出 int 范围：未定义行为，常见输出垃圾值 */ double d = 1e300; float f2 = d; /* 超 float 范围：变成无穷大 */
浮点转整数超范围是未定义行为，不是"取低位"——不同平台、同一平台不同优化等级都可能给出不同结果。永远先判断范围再转。
本节要点回顾
- 补码让加减法共用一套电路：负数 = 模减绝对值；按位取反加一是手工求法。
- 同一字节两副面孔：有符号无符号只是滤镜，unsigned 视角常用于观察原始位模式。
- 有符号溢出是未定义行为：靠回绕检测溢出的代码会被优化器删除，用无符号运算才安全。
- 浮点是位域结构：符号、指数、尾数；范围靠指数，精度靠尾数，数轴上疏密不均。
- 浮点比较用容差，钱用整数，超范围转换先判界：三条工程铁律。
下一节讲数据的进出口：printf 与 scanf 如何按格式串的字节滤镜读参数，以及缓冲区在这中间扮演的角色。
常见疑问
问：为什么不用原码存负数？ 原码要求加法器先判断符号再决定加减，还要处理正零负零两套零；补码把这一切都省掉了——一套加法电路通吃所有符号组合，零只有一种表示。当年省下的是晶体管，今天省下的是指令延迟。
问：浮点误差能彻底避免吗？ 不能，只能管理。多数十进制小数在二进制里是无限循环（如同三分之一在十进制），有限位数必然截断。对策按场景选：货币用整数按分计算；科学计算用 double 并全程容差比较；需要精确十进制的场合用定点数或专门的十进制库。
问：负零存在吗？ 存在。浮点的符号位独立于数值位，零也带符号。好在负零与正零比较相等，日常逻辑不受影响，只在打印与位级比较时露出差异。