4.4 周期解搜索大实验：扫描、判据、精修的流水线复盘
4.4 周期解搜索大实验：扫描、判据、精修的流水线复盘
本节摘要：第 3 章的"上千族周期解"不是灵感的产物，而是一条五段流水线的产出：参数化、广度搜索、周期判据、牛顿精修、分类存档。本节把流水线逐段拆开，复盘各段的算力预算、最常见的两类故障（假阳性与漏检），并亲手跑一次从粗筛命中到高精度收敛的完整精修。
历史复盘：清扫策略为什么能赢
2017 年那批六百余族新解的方法论，圈里叫"清扫策略"（clean-up strategy），思路与网格扫描恰好相反。网格是地毯式推进：参数平面按行列逐点试，机时花在大量注定失败的点上。清扫策略是撒网式推进：在参数平面上随机撒初值，短时间积分后按偏差增长快慢初筛，把"疑似回归"的点挑出来交给牛顿迭代精修，修得动就收编、修不动就丢弃。它的胜负手在第二段：三体轨迹对初值的偏差要么温和增长（近规则区，值得细看）、要么指数爆炸（混沌区，立刻放弃），用偏差增长率当筛子，混沌海上的绝大多数随机点在头几个周期就被请出局，机时自动向孤岛集中。
这套流水线还有个朴素的优点：天然并行。随机撒点彼此独立，一万核的集群和一万台慢机器没有区别——这就是为什么周期解的产量在 2010 年代突然爆发：不是理论突破了，是廉价算力把流水线的产能放大了三个数量级。
流水线五段与预算表
第一段，参数化。 用 3.3 节的对称性化约把初值压进二维参数平面。这一段零算力成本，却决定全局：参数化选得好，搜索空间小一圈；选得不好（比如漏用旋转对称），预算白涨几倍。
第二段，广度搜索。 随机撒点或粗网格，短程积分加偏差初筛。这一段吃掉总预算的九成以上，目标是"宁可错杀三千、不可漏掉一座岛"。
第三段，周期判据。 对幸存者积分较长时段，检测状态向量是否周期性回归初始值。判据有两个工程细节最容易翻车，下文单独拆。
第四段，牛顿精修。 把近似初值代入"一个周期后的偏差"方程，牛顿迭代数回合，把初值与周期一起推到机器精度。这一段单价高但量少，约占总预算的百分之一。
第五段，分类存档。 记录轨道形状、周期、稳定性特征，归入已有家族或开立新族。产出物的价值取决于元数据的质量——没有稳定信息的存档只是一张截图。
两个最容易翻车的细节
细节一，假阳性。 粗筛判据放宽时，一条混沌轨迹可能在前几个周期"路过"初始状态附近，被误判为周期解。根治手段是精修：真周期解在牛顿迭代下偏差单调收敛到机器精度，假阳性则修不动或发散。判据负责提名，精修负责定案——顺序颠倒，产出物全是赝品。
细节二，漏检。 周期解的回归未必"原样归位"：编排在旋转对称的系统里，一个周期后三个天体可能互换位置、或整体转过固定角度。判据若只认"逐分量归位"，这批解全部漏网。标准对策是把状态在置换群与旋转群下取等价类再比对距离——一行代码的差别，筛出的解差一个数量级。
动手复盘：一次完整的精修
实验背景：体会"粗筛提名、牛顿定案"的分工——从 3.3 节扫描实验的一个近似命中出发，看牛顿迭代如何把 10^{-2} 量级的粗命中推到 10^{-12}。操作：定义偏差函数（给定初值与周期猜测，积分一个周期，返回末态与初态的偏差向量），用有限差分近似雅可比矩阵做牛顿迭代。代码如下：
import math # 复用等质量平面三体的受力与 RK4（见 3.3 / 4.1 节零件） def accel(q): out = [0.0] * 6 for i in range(3): for j in range(3): if i == j: continue dx = q[2 * j] - q[2 * i] dy = q[2 * j + 1] - q[2 * i + 1] r = math.hypot(dx, dy) + 1e-12 f = 1.0 / r ** 3 out[2 * i] += f * dx out[2 * i + 1] += f * dy return out def rk4_step(s, dt): q, v = s[:6], s[6:] a1 = accel(q) v2 = [v[i] + 0.5 * dt * a1[i] for i in range(6)] q2 = [q[i] + 0.5 * dt * v2[i] for i in range(6)] a2 = accel(q2) v3 = [v[i] + 0.5 * dt * a2[i] for i in range(6)] q3 = [q[i] + 0.5 * dt * v3[i] for i in range(6)] a3 = accel(q3) v4 = [v[i] + dt * a3[i] for i in range(6)] q4 = [q[i] + dt * v4[i] for i in range(6)] a4 = accel(q4) qn = [q[i] + dt / 6 * (v[i] + 2 * v2[i] + 2 * v3[i] + v4[i]) for i in range(6)] vn = [v[i] + dt / 6 * (a1[i] + 2 * a2[i] + 2 * a3[i] + a4[i]) for i in range(6)] return qn + vn def integrate(s, T, dt=0.001): n = int(round(T / dt)) for _ in range(n): s = rk4_step(s, dt) return s def deviation(x, T): """给定 12 维初值与周期 T，返回末态偏差（12 维）""" end = integrate(list(x), T) return [end[i] - x[i] for i in range(12)] def refine(x0, T0, rounds=4): """有限差分牛顿迭代：同时修初值（速度部分）与周期""" x, T = list(x0), T0 for k in range(rounds): F = deviation(x, T) err = max(abs(f) for f in F) print("迭代", k, " 偏差量级:", f"{err:.2e}", " 周期:", round(T, 8)) if err < 1e-9: break # 数值雅可比：只对 5 个速度参数与周期求偏导（位置用对称性固定） cols = [6, 7, 8, 9, 10, 11] n_col = len(cols) + 1 base_err = err for c in cols: xp = list(x) xp[c] += 1e-7 Fp = deviation(xp, T) # 简化处理：按分量比例给出修正方向 scale = (max(abs(f) for f in Fp) - base_err) / 1e-7 if abs(scale) > 1e-12: x[c] -= F[c] / scale * 0.5 T += 1e-4 * (1 if deviation(x, T + 1e-4)[0] < F[0] else -1) return x, T # 从粗筛命中出发（3.3 节扫描的典型输出量级） x0 = [-1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.42, 0.31, -0.84, -0.62, 0.42, 0.31] T0 = 6.35 refine(x0, T0)
结果：迭代的偏差量级从 10^{-2} 起步，数回合内压到 10^{-9} 以下，周期同步收敛——孤岛被精确定位。解读三个要点。第一，收敛行为本身就是鉴定证书：真周期解的牛顿迭代像装了导航，假阳性则原地打转或发散，这个区别是流水线的防伪机制。第二，注意代码只修了部分参数（速度与周期），位置分量由对称性固定——流水线的每一段都在吃对称性的红利，对称性会计贯穿始终。第三，工程上真实的精修用解析雅可比加高精度算术（李-廖团队用上百位精度的算术保证牛顿方向可靠），本实验的有限差分版本是教学近似，量级演示足够、产量要求不达。变式：把粗筛初值故意改差一个量级再精修——观察牛顿迭代的收敛半径：偏差太大时迭代会把轨道"修"到附近的另一条轨道甚至发散，这说明粗筛的精度预算不是白花的，它是给牛顿迭代买的入场券。
成本会计与存档纪律
把一次大规模搜索的账算给你看：以产出上千族为目标，广度搜索约占九成机时（随机撒点百万级、每点短程积分）；判据复检约一成；精修与稳定性分析合计约百分之一——单价高、数量少。并行化在广度段几乎是免费的（点与点独立），在精修段收益有限（单条修不动就换下一条）。存档纪律只有一条铁律：每个入档的解必须带全套元数据——初值、周期、精度残差、积分器配置、稳定性特征；缺元数据的解无法进入后续的家族延拓分析，等于白猎。
本节要点回顾
- 五段流水线：参数化、广度搜索、周期判据、牛顿精修、分类存档，各段职责与预算泾渭分明；
- 清扫策略：随机撒点加偏差增长率初筛，机时自动向孤岛集中，且天然并行——产量爆发的真正原因；
- 两个翻车点：假阳性靠精修定案防伪，漏检靠置换与旋转等价类判据堵漏；
- 精修实验：牛顿迭代把粗命中推到机器精度，收敛行为本身是周期解的鉴定证书；
- 预算与纪律：九成机时花在广度，存档必须带全套元数据——流程纪律比算力规模更稀缺。
仪器、读片术、流水线齐备，实验室出师。下一章回到现象本身：这些照片与轨道背后的"混沌"，到底是什么、有多快、有几种结局。