3.4 定步长与变步长对照实验

3.4 定步长与变步长对照实验

本节摘要：本节把前三节的机理知识变成一场亲手实验：同一个电机起动模型，分别用变步长 ode45、变步长隐式 ode23t、定步长 ode4 与粗步长定步长四种配置求解，对比耗时、输出点数与峰值误差，再做一次减半步长的收敛性检查。实验目的不是背结论，而是建立"任何结果先做收敛检查"的职业习惯——本节给出的方法在第 4 章复盘和第 7 章验证里都会反复使用。

实验设计与预期

模型沿用主线里的连续电机（电时间常数毫秒级、机械时间常数百毫秒级，轻度刚性），激励为阶跃电压，仿真 0.5 秒，记录转速与电流。四组配置：

预期：A 与 B 结果接近，B 用时更短（隐式法吃刚性红利）；C 接近基准，耗时中等；D 明显更快但峰值误差可见——如果 D 与 A 几乎重合，那反而值得怀疑（误差去哪了）。

% 对照实验驱动脚本：一次配置，循环跑四组
load_system('motor_experiment');
configs = struct( ...
  'name', {'A_ode45', 'B_ode23t', 'C_fix_1e4', 'D_fix_2e3'}, ...
  'solver', {'ode45', 'ode23t', 'ode4', 'ode4'}, ...
  'step',   {'auto',  'auto',    '1e-4',   '2e-3'});

for k = 1:numel(configs)
  set_param('motor_experiment', 'Solver', configs(k).solver);
  if strcmp(configs(k).step, 'auto')
    set_param('motor_experiment', 'SolverType', 'Variable-step');
  else
    set_param('motor_experiment', 'SolverType', 'Fixed-step');
    set_param('motor_experiment', 'FixedStep', configs(k).step);
  end
  tic; out(k) = sim('motor_experiment', 'StopTime', '0.5'); t(k) = toc;
  fprintf('%s 耗时 %.2f 秒 输出点 %d 个\n', configs(k).name, t(k), numel(out(k).tout));
end

% 收敛性检查：A 组容差收紧一个量级复跑
set_param('motor_experiment', 'Solver', 'ode45');
set_param('motor_experiment', 'RelTol', '1e-5');
outA2 = sim('motor_experiment', 'StopTime', '0.5');
% 对比 out(1) 与 outA2 的转速峰值：相对差小于千分之一才可继续分析
​

图：四组配置的耗时与误差对比

结果解读：三个反直觉

反直觉一：变步长不总比定步长慢。 组 A 精度最高但耗时不是最长；它把算力花在状态剧变的起动段，平缓段大步长掠过。粗定步长组 D 每步都便宜，但步数被死死钉在两百五十步，"便宜"乘不出优势，反而搭上误差。

反直觉二：隐式求解器在轻刚性模型上就赢了。 组 B 的隐式多步法在电瞬态段允许大步长而不失稳，总耗时反而最短。这推翻了"隐式一定更贵"的想当然——每步更贵、步数更少，天平朝哪边倾取决于刚性程度，实验让它可见。

反直觉三：最便宜的结果恰是最危险的。 组 D 的误差曲线在起动段明显偏离基准，但整体趋势"看起来像那么回事"。如果直接拿 D 的结果去评估起动电流冲击，结论会系统性偏低。"跑得通"与"算得对"之间隔着一次收敛性检查——这是本实验真正要刻进习惯的一句话。

变式：把实验搬进你的项目

第一步，找出你项目的"关键量"——误差最伤不起的那个指标（起动电流峰值、超调量、稳态纹波）。第二步，跑两次基准：默认配置一次、容差收紧一个量级一次，关键量相对差低于你的工程精度需求，基准才成立。第三步，再跑一个定步长版本，为将来代码生成探路——若定步长要小到不可接受才能保精度，说明模型刚性偏重，实时落地前要做模型简化（平均模型、降阶）。这三步在任何项目里都花不了一小时，却能挡住整类"仿真很好、上机变味"的事故。

💡 关键直觉：步长与容差不是"设置"，而是你在精度、耗时、可落地性三者之间的契约条款。契约要写在实验记录里，而不是只存在模型配置里。

常见问题

问：实验里为什么不拿"真值"作基准，而拿变步长收紧容差的结果作基准？

因为多数工程模型没有解析真值——能写出 closed form 解的系统不需要仿真。数值仿真的"基准"只能是收敛意义下的自洽：把容差收紧到再收紧一档、结果不再明显移动，即认为已逼近该离散格式的极限解。这是数值分析的收敛性思想在工程上的日常化：我们不证明收敛，我们演示收敛。

问：定步长组怎么选步长才不是拍脑袋？

按"最速动态加节拍约束"双条件框定：步长必须显著小于你关心的最快动态的时间常数（经验上十分之一以下），又必须兼容未来代码生成的任务节拍（或其整数分频）。两个条件夹出来的可行区间就是候选范围，再进实验看误差——这就是为什么 C 组选 0.1 毫秒：它对毫秒级电时间常数是十比一，又刚好是 1 千赫兹控制节拍的十分频，两头都交代得过去。

问：模型以后要做实时仿真，现在直接全用定步长开发不是省事吗？

省的是后来的"切换验证"，失去的是开发期的精度与效率：变步长在调试期给得起精度、跑得起速度，定步长在开发期两者都不占优。两段式的真正成本只在切换验证那一步，而它本来就是 8.3 节实时化前的必经检查——与其说是额外成本，不如说是提前暴露问题。

本节要点回顾

• 实验四组设计：变步长基准、隐式对照、定步长实时组、粗步长警示组，一次搭建反复可用；
• 反直觉三连：变步长未必慢、隐式未必贵、最省时的结果最危险；
• 收敛性检查是底线动作：容差收紧一个量级复跑，关键量不动才可信；
• 关键量思维：精度契约围绕伤不起的指标签订，不追求全信号等精度；
• 探路定步长：代码生成前先验证定步长可行性，刚性偏重则提前规划模型简化；
• 契约留痕：步长容差决策写进实验记录，与模型一起归档。

机理、地图、悬崖、实验，引擎舱的课到此上完。下一章主角登场：把这些知识放进一个真实的电机调速项目，从空画布走到收敛，途中每一处报错都不跳过。