3.1 分离变量法手推全程
3.1 分离变量法手推全程
解析解一章从抛物型开跑，因为热传导方程是分离变量法最干净的舞台：方程线性、边界规则、时间单向衰减。本节把全长推导一次走完——从"解是形状乘时间"的假设出发，到特征值问题、正弦基、系数公式、级数解，最后用数值实验检验部分和逼近真解的速度。这条推导是第四章谱方法的骨架，值得逐行吃透。
把解假设成一对函数的乘积
问题设定：长为 L 的均匀细杆，两端恒为零温（狄利克雷边界），初始温度分布为 φ(x)，求 u(x,t)。方程与条件拼齐：
u_t = a²·u_xx，u(0,t) = u(L,t) = 0，u(x,0) = φ(x)。
核心假设：解可以写成 u(x,t) = X(x)·T(t)，空间因子管形状，时间因子管幅度。代入方程，得 X·T' = a²·X''·T。两边同除 a²·X·T，把 x 与 t 分居等号两侧：
T' / (a²·T) = X'' / X。
左端只随 t 变，右端只随 x 变，而等式要对一切 x、t 同时成立——唯一的可能是两者都等于同一个常数，记作 −λ。于是原方程裂成两条常微分方程：
X'' + λ·X = 0，T' = −a²·λ·T。
分离变量这个名字说得直白：把偏微分方程拆成常微分方程组。但常数 −λ 不是随便取的——它由边界条件决定，这正是下一步的全部内容。
特征值问题：边界条件挑选形状
X 的方程配上零边值 X(0) = X(L) = 0，是史上最重要的特征值问题。分三种情形讨论 λ。
λ 取负数（记 λ = −μ²，μ 大于零）：X = A·e^(μx) + B·e^(−μx)，两个边界条件逼出 A 与 B 只能全零——平凡解，出局。
λ 取零：X = A + B·x，边界条件逼出 A = B = 0，又出局。
λ 取正数（记 λ = k²）：X = A·cos(kx) + B·sin(kx)。条件 X(0) = 0 给 A = 0；条件 X(L) = 0 要求 sin(kL) = 0，即 kL = nπ。只有特定离散值让非平凡解存在：
k_n = nπ/L，λ_n = (nπ/L)²，X_n(x) = sin(nπx/L)，n = 1, 2, 3…
特征值是离散的，特征函数是驻波——两端固定的弦只允许特定波长，这与耳朵听到的泛音列完全一致（第一章争论的物理内核）。时间因子随之确定：T_n(t) = exp(−a²λ_n·t)，n 越大衰减越快，第 n 个模式的衰减率是 a²(nπ/L)²。
叠加与系数：把初始条件焊上去
线性方程满足叠加原理（1.1 节的伏笔兑现），一般解是所有模式的线性组合：
u(x,t) = Σ b_n·sin(nπx/L)·exp(−a²n²π²t/L²)。
剩下让 t = 0 时等于 φ(x)：Σ b_n·sin(nπx/L) = φ(x)。正弦基的正交性给出系数公式——两边乘 sin(mπx/L) 并在区间上积分，交叉项全部归零：
b_n = (2/L)·∫[0,L] φ(x)·sin(nπx/L) dx。
至此解完整落袋。第一章 1.1 节验证过的解 sin(πx)·exp(−a²π²t) 正是 n = 1 的单项；伯努利 1753 年写下的级数主张，在这里被逐字推导出来。取一个具体初值练手：φ(x) = u₀·x(L−x)（中间最热的抛物线分布），算出 b_n = 8u₀L²/(n³π³)（n 取奇数）——系数按 n 的立方衰减，说明这个初值相当"光滑"；若初值带棱角，系数只按 n 或 n² 衰减，高阶模式参与更多，衰减前缘更丰富。初始数据的光滑度写在系数衰减率里——这句话在第四章谱方法里会变成误差理论。
数值实验：级数解与差分解对表
推导完成，立即上机互证。同一问题用两条独立路线求解：级数解取前 N 项；差分解用显式格式（第四章会正式推导，这里直接使用）。两者在 t = 0.1 时刻逐点比较。
import numpy as np L, a, T_end = 1.0, 1.0, 0.1 phi = lambda x: 1.0 * x * (L - x) # 抛物线初值 u0=1 # 路线一：级数解（奇数项系数 8*u0*L^2/(n^3*pi^3)） x = np.linspace(0, L, 101) u_series = np.zeros_like(x) for n in range(1, 200, 2): bn = 8 * L**2 / (n**3 * np.pi**3) u_series += bn * np.sin(n*np.pi*x/L) * np.exp(-a**2 * (n*np.pi/L)**2 * T_end) # 路线二：显式差分（r = a*dt/dx^2 = 0.4，稳定域内） nx, dx = 101, L/100; dt = 0.4 * dx**2 / a**2 u = phi(x); steps = int(round(T_end/dt)) for _ in range(steps): u[1:-1] = u[1:-1] + 0.4 * (u[2:] - 2*u[1:-1] + u[:-2]) print("最大点差:", np.abs(u_series - u).max()) print("t=0.1 中点温度: 级数", u_series[50], " 差分", u[50])
两个数值在万分之一精度内重合。两条路线完全不共享中间步骤——一条来自无穷级数，一条来自局部差商——它们对上表，等价于对整条推导做了端到端测试。工程里管这叫交叉验证，数学里管这叫互证，习惯从此养成。
方法的能力边界
三件事标出边界。区域要规则：直角坐标分离变量在矩形、圆、环上可行，因为坐标面恰好与边界贴合；L 形区域上特征函数没有显式形式，方法停摆——第四章有限元接手。方程要常系数线性：变系数方程 X'' + q(x)X = λX 的特征函数不再有显式解（所谓施图姆–刘维尔理论只能定性），非线性方程叠加原理失效、方法根基崩塌——第五章的领域。对称性要够：零边值的正弦基、绝热边值的余弦基、周期边值的复指数基，各成一家；混合边界（一端定温一端绝热）仍可做，但基函数变成 sin((n+1/2)πx/L) 这类半整数频率，查表性质不如前两者齐整。
⚠️ 常见坑：初值不满足边界条件时（比如 φ(0) 不为零而边界强制零温），级数在 t = 0 收敛不到 φ 的端点值，但在任何 t 大于零瞬间一切正常。这不是推导错误，而是 Gibbs 现象与边界层交织的表现——解在极短时间内完成边界附近的快速调整，数值上别试图用 t = 0 的级数部分和去逐点核对初值。
本节要点
- 分离的本质：把偏微分方程裂解为"带边界条件的特征值问题 + 一族时间常微分方程"；
- 特征值三件套：λ_n = (nπ/L)²、sin(nπx/L)、衰减率 a²λ_n，离散谱对应驻波泛音；
- 系数公式：正交性给出傅里叶系数，初始数据的光滑度决定系数衰减率；
- 互证纪律：级数解与独立实现的差分解对表，误差到万分位才算推导过关；
- 能力边界：规则区域、常系数、线性叠加，三条缺一就让位于数值方法。
热传导的解是"驻波衰减"。波动方程会给出完全不同的答案：解是被搬运的初始形状本身。下一站换到随波而行的坐标系，看达朗贝尔如何两行积分拿到通解。