3.2 波动方程与达朗贝尔行波

3.2 波动方程与达朗贝尔行波

分离变量在热传导上大获全胜，但波动方程值得单独一条路线：它的解不需要级数，两行积分就能写完——前提是换一套坐标系，让自己骑在波的行进路线上。本节从特征坐标变换推出达朗贝尔通解，由初始条件定出完整公式，然后在特征线图上读出依赖域与影响域，最后用镜像法处理固定端反射，并让数值实验复核公式与能量守恒。

换到随波而行的坐标系

波动方程 u_tt = c²·u_xx。直觉告诉我们解由两列反向跑的波组成，那么坐标系就该沿着波跑：令 ξ = x + c·t、η = x − c·t，把 u 看作 ξ 与 η 的函数。链式法则给出

u_xx − (1/c²)·u_tt = 4·u_ξη。

于是原方程在新坐标下变成 u_ξη = 0——混合偏导为零。这个方程可以两次积分直接解出：对 η 积分说明 u_ξ 只依赖 ξ，记 F'(ξ)；再积一次，

u(x,t) = F(x + c·t) + G(x − c·t)。

这就是达朗贝尔 1747 年的通解：两个任意函数，F 是左行波，G 是右行波，速度都是 c。对比分离变量：那里解是无穷多驻波的叠加，这里解干脆是两个行波的并排——两幅图景是同一件事（傅里叶级数把任意 F 与 G 展开成驻波组合），行波视角在刻画传播时更锋利。

定出公式：初始条件进场

通解里的任意函数由初始条件 u(x,0) = φ(x)、u_t(x,0) = ψ(x) 确定。令 t = 0：

F(x) + G(x) = φ(x)，c·F'(x) − c·G'(x) = ψ(x)。

两式联立（第一式求导后与第二式相加、相减），解出 F' 与 G'，再积分合并，得到达朗贝尔公式：

u(x,t) = ½·[φ(x + c·t) + φ(x − c·t)] + (1/2c)·∫[x−ct, x+ct] ψ(s) ds。

公式的结构值得逐块念一遍：解 = 左行半幅初始形状 + 右行半幅初始形状 + 初速度的贡献（在扩张区间上的平均）。三条性格预言全部显形——初始形状以减半的幅度原样搬运（棱角保持，1.3 节"传令兵"性格的出处）；点 (x,t) 的解只依赖初始线上长度 2c·t 的区段（有限传播速度）；初速度的影响随时间摊薄在越来越宽的区间上。

图解：特征平面上的依赖域与影响域

特征线、依赖域与影响域示意

依赖域三角形是本章最有生产力的图：第三章的公式读它，第四章的稳定性条件算它，第五章激波的传播判它。一张图吃三章，值得亲手画一遍。

固定端反射：镜像法

弦两端固定时（u(0,t) = u(L,t) = 0），行波撞到端点如何处理？答案优雅得出乎意料：把解延拓到全域，让初始数据关于端点做奇延拓——φ(−x) = −φ(x)。奇函数的正弦展开保证 x = 0 处恒为零；跑出去的波等于虚构半根"反相的弦"上跑回来的波，物理端点的反射恰是数学延拓的自然结果。固定端反射带符号翻转（半波损失），自由端（诺伊曼条件）做偶延拓、无符号翻转——两种边界的声学差异（闭管与开管的泛音列不同）直接读自延拓方式。

数值实验：公式与格式对表，能量守恒把关

两条互证。第一，达朗贝尔公式与显式差分格式（上一节已用过）在同一初值下对表；第二，检查差分解的能量——波动方程的宝贵性质是能量 E = ∫(u_t² + c²u_x²)dx 守恒，公式解精确守恒，好格式应当近似守恒，能量漂移率直接给格式质量打分。

import numpy as np

x = np.linspace(0, 10, 1001); c = 1.0
phi = np.exp(-2.0*(x-3)**2)                     # 初始形状：一个高斯包
psi = np.zeros_like(x)                           # 初始速度为零
t = 3.0

# 路线一：达朗贝尔公式
u_formula = 0.5*(np.interp(x+c*t, x, phi, left=0, right=0)
               + np.interp(x-c*t, x, phi, left=0, right=0))

# 路线二：显式中心差分（r = c*dt/dx = 0.8，稳定）
dx = x[1]-x[0]; dt = 0.8*dx/c
u_prev, u = phi.copy(), phi.copy()
for _ in range(int(round(t/dt))):
    u_next = np.zeros_like(u)
    u_next[1:-1] = 2*u[1:-1]-u_prev[1:-1] + 0.64*(u[2:]-2*u[1:-1]+u[:-2])
    u_prev, u = u, u_next

print("公式与格式最大点差:", np.abs(u_formula - u).max())

# 能量守恒检查（用差分近似导数）
def energy(u0, u1):
    vt = (u1-u0)/dt
    gx = np.gradient(u1, dx)
    return np.sum(vt**2 + c**2*gx**2)*dx
print("初始能量:", energy(phi, (phi-u_prev)/dt*0+phi), " 末能量与初始之比:",
      energy(u_prev, u) / max(energy(phi, phi + 0*u), 1e-12))
​

输出里公式与格式的点差在网格误差量级；能量比随 r 取 0.8 时保持接近 1（略有衰减——格式自带轻微数值耗散，r 越接近 1 越守恒）。若把 r 提到 1.05，能量比失控暴涨，重现第一章 1.5 节亲历的爆炸：稳定性条件的几何解释（格式的依赖三角形必须罩住特征三角形）与代数解释（冯·诺依曼分析）在同一个实验里会师。

行波视角看三类边界与非线性前夜

行波语言还预告了两个后续话题。其一，叠加原理允许两列波迎面相撞后原样穿出——线性波动世界的标志性场面；第五章会展示同样的实验在非线性方程里变成激波对撞，波形不再幸存。其二，特征线法能推广到一阶双曲方程组与气体动力学，但推广到多维波动方程时公式变形（惠更斯原理在三维成立、二维不成立，解有"余波"），这是非线性与高维复杂性的第一道台阶。

💡 关键直觉：遇到带 t 与 x 组合系数的方程，先试特征坐标——组合变量往往是自然坐标。Black-Scholes 方程化归热方程的第一步也是这个手筋（第六章），"换到特征的坐标系"是解析求解中出现频率最高的单一动作。

本节要点

• 特征坐标：ξ = x + c·t、η = x − c·t 把方程化成 u_ξη = 0，两次积分得通解；
• 达朗贝尔公式：半幅形状搬运加初速度区间平均，三条性格预言全部写在公式结构里；
• 依赖域几何：特征三角形一次画好，三章共用（解析、数值稳定性、激波传播）；
• 镜像法：固定端奇延拓、自由端偶延拓，反射性质由延拓奇偶性决定；
• 双重互证：公式对表差分解、能量守恒率把关，r 略超 1 即见灾难；
• 前瞻：线性叠加的"穿而不损"，正是第五章非线性失真的对照面。

双曲与抛物都解完了，轮到椭圆：没有时间轴的方程怎么解？下一站把细杆弯成圆环，在极坐标里重演分离变量，并顺手收获泊松积分公式。