3.4 三大曲面曲率实验

3.4 三大曲面曲率实验

摘要：把前两节的仪器带到三个标准现场——单位球面（正常曲率样板）、伪球面（负常曲率样板）、嵌入环面（混合曲率样板），执行同一套测量规程：曲率公式核算、内角和读数、圆周长与半径关系、回路偏转。三种曲率符号在同一次实验里正面相遇，负曲率与混合曲率的反直觉行为由此获得具体校准。

实验设计：一套规程测三个现场

本章前两节备好了全部仪器：克氏符号五步法、曲率分量公式、二维坍缩公式 K = R_{1212}/\det g、测地线方程。本节将它们打包成一个固定规程，依次对三个现场执行：第一站单位球面 S^2（已知答案 K = 1，用于规程校准）；第二站伪球面（曳物线旋转体，预期 K = -1 的常负曲率样板）；第三站嵌入环面（甜甜圈面，预期曲率随位置变号）。每站四项读数：曲率公式核算、三角形内角和、小圆周长与半径比、平行移动回路偏转。规程完全不变，只换现场——这是第一章内在性纲领的第三次兑现。

第一站：球面（规程校准）

校准站的三项读数全部已知且已两度验算（角盈定律、回路偏转率），此处补第四项——小圆周长与半径关系，它是最能区分曲率符号的读数。以北极为中心、测地线半径 \rho 画圆（即纬线 \theta_0 = \rho），周长 C(\rho) = 2\pi\sin\rho，而欧氏平面周长应为 2\pi\rho。小半径展开 \sin\rho \approx \rho - \tfrac{\rho^3}{6}，得 C(\rho) \approx 2\pi\rho\,(1 - \tfrac{\rho^2}{6})：正曲率的标志是周长比欧氏值短，亏欠量与 K\rho^2 成正比。取 \rho = \tfrac{\pi}{6}：欧氏账面 2\pi \times 0.5236 \approx 3.290，实测 2\pi \times 0.5 = 3.142，短了约百分之四点五。规程四项读数（K=1、内角和超、周长亏、回路偏转正）全部对上，仪器可信，开赴第二站。

第二站：伪球面（负曲率的第一次正面接触）

伪球面由曳物线绕轴旋转生成，参数化为

诱导度量为 ds^2 = \tanh^2 u\, du^2 + \mathrm{sech}^2 u\, dv^2（推导与第 1.4 节球面流程完全同构：参数化、求切向量、算三项内积）。代入克氏符号公式与曲率分量公式（或直接用本章代码段），得到 K = -1，且与 u 无关——常负曲率。

负曲率的读数全面反号，逐项对照球面：三角形内角和小于 \pi（马鞍上三点连线，三角「瘪」进去一块）；测地圆周长大于欧氏值（展开式变 C \approx 2\pi\rho(1 + \tfrac{\rho^2}{6})，超额）；平行移动回路偏转角为负（顺时针偏转）。最反直觉的是面积：内角和亏缺意味着「同周长的图形在负曲率下面积可以任意大」——双曲平面的裙子永远做不完，这也是地图学中双曲投影难以等面积嵌入平面的根源。伪球面自身有个限制：它只是双曲平面的局部模型，u 有下界，边缘处出现尖点，不可能整体实现常负曲率完备曲面的嵌入（希尔伯特定理禁止三维欧氏空间里完整的常负曲率嵌入，详见第四章）。

第三站：环面（曲率会变号）

标准嵌入环面参数化为

诱导度量 ds^2 = r^2 d\theta^2 + (R + r\cos\theta)^2 d\varphi^2。高斯曲率（用曲率公式或嵌入公式 K = \tfrac{\cos\theta}{r(R + r\cos\theta)}，两种算法应一致）：

读数分区：外赤道 \theta = 0 处 K = \tfrac{1}{r(R+r)} > 0，正曲率像球面外侧；顶底两圆 \theta = \pm\tfrac{\pi}{2} 处 K = 0，抛物线点；内赤道 \theta = \pi 处 K = -\tfrac{1}{r(R-r)} < 0，负曲率且绝对值更大（分母 R - r 更小）。环面一圈走下来，曲率符号经历正-零-负-零-正的完整循环——同一张曲面、同一次测量规程，读数连续变号。对照第 1.3 节的预告：平环面（配 d\theta^2 + d\varphi^2）处处 K=0，甜甜圈环面有正有负——拓扑相同、度量不同，曲率读数彻底分道扬镳。第四章 Gauss-Bonnet 定理将补上惊人的一笔：尽管读数逐点不同，环面全曲率积分恒为零，与平环面相同——拓扑在总量上强行「对账」。

三现场读数总表

机器复核：三种度量一次算清

from sympy import symbols, sin, cos, tanh, sech, Matrix, simplify, together

u, v, R, r = symbols('u v R r', positive=True)

def gauss_curvature(g, coords):
    ginv = g.inv()
    G = {(k,i,j): simplify(sum(ginv[k,l]*(g[l,i].diff(coords[j])
            + g[l,j].diff(coords[i]) - g[i,j].diff(coords[l]))
            for l in range(2))/2)
         for k in range(2) for i in range(2) for j in range(2)}
    R1212 = simplify(sum(
        g[0,l]*(G[(l,1,0)].diff(coords[1]) - G[(l,1,1)].diff(coords[0])
        + sum(G[(l,1,m)]*G[(m,0,1)] - G[(l,1,m)]*G[(m,1,0)] for m in range(2)))
        for l in range(2)))
    return together(simplify(R1212/g.det()))

# 伪球面度量
g_pseudo = Matrix([[tanh(u)**2, 0], [0, sech(u)**2]])
print(gauss_curvature(g_pseudo, [u, v]))   # 输出: -1

# 嵌入环面度量（取 R=2, r=1 便于核对）
g_torus = Matrix([[r**2, 0], [0, (R + r*cos(u))**2]]).subs({R: 2, r: 1})
print(gauss_curvature(g_torus, [u, v]))    # 输出: cos(u)/(2 + cos(u))
​

输出确认：伪球面 K = -1 恒定；环面 K = \tfrac{\cos u}{2+\cos u}，外圈 u=0 时 \tfrac{1}{3}、内圈 u=\pi 时 -1、顶底 u=\pm\tfrac{\pi}{2} 时归零。手推与机器互证的习惯，至此已跑完第四轮。

💡 关键直觉：曲率符号是一部「行为词典」——内角和、周长、回路偏转、平行线数目，四条词条查任何一个都能反推符号。仪器不必全套出勤，读一项读数即可定位现场性质；反过来，四项读数相互锁定，正是曲率作为内蕴量的鲁棒性。

本节要点回顾

• 规程四项读数：曲率核算、内角和、周长半径比、回路偏转——换现场不换规程；
• 球面站：K=1 全项校准通过，周长亏欠量正比 K\rho^2；
• 伪球面站：K=-1，内角和亏、周长超额、偏转反向，双曲行为全景首展；
• 环面站：K(\theta) = \tfrac{\cos\theta}{r(R+r\cos\theta)}，一圈走完正零负循环，平环面与甜甜圈环面分道；
• 词典法：读一项符号即可定性现场，四读数互锁体现内蕴量的鲁棒性。