2.1 静压强分布与浮力

2.1 静压强分布与浮力

本节摘要：静止流体中，压强是各向同性的标量，只随深度变化：每往深处走一步，压强就增加一份"头顶流体的重量"。这条最简单的平衡关系给出了浮力的本质（上下表面压差），也提供了本书第一个可以徒手计算的公式。空气虽然轻，同样遵循这条规律——海拔与气压的对应就是它的版本。

把流动暂时关掉，看一个完全静止的流体。静止意味着每个流体微团的合力必须为零——这是全书第一道"受力平衡"题，也是最容易被低估的一题：第 5 章边界层、第 7 章激波的分析骨架，都是它的复杂版。

静力学基本方程：压强只认深度

在密度为 ρ 的静止流体中取一个竖直的细柱体，高 dh，上下两面压强分别为 p 与 p + dp。竖直方向受力平衡：

p·A + ρg·A·dh = (p + dp)·A
→ dp = ρ g dh（深度增加 dh，压强增加 ρg·dh）
​

写成随高度变化的形式更贴合空气：压强向上递减，dp/dz = -ρg。拿空气验算：海平面 ρ = 1.225 kg/m³，g 取 9.81 m/s²，每升高一米压强降约 12 Pa；爬 100 层楼（约 300 米），压强降约 3.6 kPa，是标准大气压的百分之三点五。这就是为什么高层建筑的供水要分区加压、为什么登山者会缺氧——压强差的量级全部由这一行公式说了算。

这条公式还有两个隐含结论值得咀嚼：

• 压强各向同性：静止流体不能抵抗剪切，若各方向压强不等，微团就会流动。所以静止流体中一点的压强与方向无关，是个标量。这个性质让"压强分布"可以画成一张标量场云图——第 6 章翼型压力分布图的技术根基。
• 等压面垂直于重力：静止流体的自由表面（等压面）是水平的。第 4 章讲旋转流体时，这个结论会被改写成"等压面变抛物面"，可以先埋个印象。

浮力：压差的面纱

阿基米德原理人人会背"浮力等于排开流体的重量"，但力学本质其实是压强分布：浸没物体的下表面比上表面更深，压强更大，上下压差沿着表面积分就是浮力。把上面公式沿深度积分即可验证——对任意形状都成立，因为水平方向的压差贡献相互抵消，只剩竖直方向的差。

气球能飞起来，用的是同一原理的气体版：气球内氦气密度小于外界空气，整体"排开空气的重量"大于自身重量，净浮力向上。飞艇与热气球都吃这碗饭；而飞机不吃——飞机比同体积空气重得多，它的升力来自运动产生的压差（第 6 章），不是静浮力。静止的浮力与运动的升力，是压强两种完全不同的来源，这个区分是本章最重要的概念分水岭。

图：深度、压强与浮力的静力学图像

动手算：标准大气的一公里

空气密度随压强变化，所以严格的气压-海拔关系是微分方程而非线性式。做一个两步近似：取 0 到 1 公里的平均密度 1.11 kg/m³，则

Δp ≈ ρ_avg · g · Δz = 1.11 × 9.81 × 1000 ≈ 10.9 kPa
​

与标准大气表值（101.325 kPa → 约 89.9 kPa，差 11.4 kPa）偏差不到半千帕。用 Python 把精确解也算出来对照：

import math
g, R, T0, p0 = 9.81, 287.0, 288.15, 101325.0
L = 0.0065   # 对流层温度递减率 K/m
h = 1000.0   # 目标高度
T = T0 - L*h
p = p0 * (T/T0) ** (g/(R*L))
print(p/1000)   # 约 89.9 kPa
​

这个"等温近似够不够用、什么时候必须解微分方程"的取舍感，比记公式本身更有价值——它是贯穿全书的量级估算素养。

大气里的版本：气压高度表为什么能工作

静力学方程搬到大气里稍作改造就成了实用的仪器。大气密度随压强同步变化，严格解是对流层的微分方程（温度按每公里 6.5 K 线性递减），解出的压强-海拔关系是指数型曲线。飞机上的气压高度表就是一台反解这台方程的机器：测出静压，按标准大气表换算高度。它的系统性偏差也来自静力学——气温偏离标准（寒潮或酷暑）、压强场随天气起伏，都会让"气压高度"偏离真实几何高度，所以进近时管制员要播报修正常数（场压），把表的零点对准跑道标高。

把海平面到万米的数据列成简表，感受静力学方程在空气里的"账目"：

压强每升五公里左右就砍半，这就是"高空缺氧"的量化背景：客机客舱之所以要增压到相当于两三千米海拔，是因为万米高空的外界气压已不足海平面的四分之一，人类在这个分压下只能维持几分钟清醒。

问题：潜水与飞行在压强账目上是对称的吗？

方向对称、幅度悬殊。往水下十米，压强翻一倍（水重，密度是空气的八百多倍）；往上升十公里，压强才降七成。所以潜水员的压强变化以"每十米一个大气压"计，飞行员的以"每公里一成"计。两侧共同的机制都是 dp = ρg dh，差别全在密度项——这也是为什么水下压强损伤（耳膜、减压病）比航空的低压问题来得急促得多。

问题：静止大气会不会像水一样有"浮力"托住飞机？

会托，但杯水车薪。整机排开的空气约几十公斤重，静浮力与整机上百吨的重量差着四个数量级——气球与飞艇靠加大排开体积吃饭，飞机干脆放弃这条路线，改用运动产生的压差（第 6 章）。分清"静浮力托气球、动升力托飞机"，比记住浮力公式本身更重要。

问题：潜水艇在深水里被压缩吗？

会，但幅度温和。每下潜十米多一个大气压，几百米深的艇体承受数十个大气压的静压，耐压壳是受压的厚圆筒——不过这是固体力学问题；艇内空气被压缩的比例仍小，流体密度本身的变化在此可以忽略。静力学方程描述的是“压强随深度怎么分布”，艇体设计关心的是“这份压强怎么由结构扛住”，两门分工在分界面上握手。

本节要点

• 静力学平衡：dp/dz = -ρg，压强随高度递减，空气每公里降约一成。
• 静止流体压强各向同性，是标量场；等压面与重力垂直。
• 浮力即压差：下深上浅导致下强上弱，积分即阿基米德原理。
• 浮力与升力来源不同：前者静止压差，后者运动压差，勿混为一谈。
• 量级估算先行：先算量级再谈精确，是气动工程的通用习惯。

流体动起来之后，"压强随深度"就让位于"压强随流线"，先给流场画好地图——下一节上几何工具。