6.1 FIR 与 IIR 滤波器设计

6.1 FIR 与 IIR 滤波器设计

本节摘要：数字滤波器两大结构：FIR（有限冲激响应，纯卷积、可线性相位）与 IIR（无限冲激响应，带反馈、算力省但相位失真）。本节用滑动平均引出 FIR，讲清抽头数与性能的定量关系，给出窗函数法与等波纹法两条设计路线，并用 scipy 完成设计、验证、对比的完整实验。

从滑动平均到 FIR

最朴素的滤波器是滑动平均：对最近 N 个样本取平均，毛刺被抹平、缓变被保留。写成通式：输出等于最近 N 个输入的加权和，权重（抽头系数）全为 1/N。把权重换成任意一组系数 h，就得到 FIR 滤波器——"有限冲激响应"的意思是：喂一个冲激进去，输出最多持续 N 个样本就归零（没有反馈回路）。

FIR 有一个数字通信离不开的性质：系数对称时相位严格线性。相位线性意味着所有频率成分延迟相同——波形形状不被滤波器扭曲。对语音广播无所谓，但对数字信号致命：相位失真会让星座点旋转弥散，误码率飙升。第 4.3 节的根升余弦成形滤波器必须线性相位，原因就在此。

IIR 则引入反馈：输出的一部分回送输入，理论上冲激响应无限长。好处是极省算力——同样的阻带性能，阶数（近似计算量）只有 FIR 的十分之一；坏处是相位非线性（各频率延迟不同），且反馈带来稳定性与系数量化敏感问题。SDR 领域 FIR 占绝对多数的原因在此：通用处理器算力相对充裕，愿意用计算量换线性相位与绝对稳定。

抽头数的账本

滤波器性能与抽头数 N 有清晰的定量关系（哈里斯近似）：过渡带宽度约等于 4 除以 N（以归一化频率计），即抽头数约等于采样率除以过渡带宽再乘 4。代入数字：采样率 2.048 MHz、想要 20 kHz 的过渡带，N 约 410 个抽头；若先用 10 倍抽取把速率降到 204.8 kHz 再设计同宽过渡带，N 只需 41 个——先抽取再滤波，计算量直接降一个数量级。第 5 章流图里 Low Pass Filter 顺手设了 Decimation 10，真正的作用此刻揭晓：它不只是省数据量，更让后续每级滤波便宜十倍。

另一笔账是群延迟：FIR 的信号延迟约为 (N-1)/2 个样本。N 为 410 时延迟约 205 样本，2.048 MSPS 下约 100 微秒——对话音无感，但对需要时间戳的遥测解码（如 ADS-B）必须补偿。这两笔账合起来就是滤波器设计的工程权衡全貌：抽头数换性能，抽取率换算力，延迟是隐性成本。

图：滤波器幅频响应的解剖与 FIR、IIR 对比

设计实验：scipy 三条路线

窗函数法最直观：给理想矩形频响套一个窗，折中泄漏与分辨率。等波纹法（Parks-McClellan，scipy 的 remez）把误差均匀分摊到通带与阻带，同抽头数下阻带衰减更深，是性能上限路线。最小二乘法（firls）居中，适合加权不均匀的需求。三种方法同一指标下的对比实验：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, remez, freqz

fs, n_taps = 204800, 129
f = np.linspace(0, fs/2, 512)

# 路线一：窗函数法（汉明窗），截止 100 kHz
h_win = firwin(n_taps, 100e3, window="hamming", fs=fs)
# 路线二：等波纹法，通带 0 到 90 kHz，阻带 110 kHz 起
h_eq = remez(n_taps, [0, 90e3, 110e3, fs/2], [1, 0], fs=fs)

for name, h in (("窗函数法", h_win), ("等波纹法", h_eq)):
    w, H = freqz(h, worN=1024, fs=fs)
    plt.plot(w/1e3, 20*np.log10(np.abs(H) + 1e-12), label=name)
plt.axhline(-60, color="gray", ls="--", lw=0.8)
plt.xlabel("频率 kHz"); plt.ylabel("幅度 dB")
plt.ylim(-100, 5); plt.legend(); plt.grid(True); plt.show()
​

读图要点：两条曲线通带都平、阻带都深，但等波纹法的阻带衰减在同一抽头数下多出约 10 dB，代价是通带出现细密波纹。选型口诀：语音与一般接收用窗函数法（通带最平）；强邻道干扰下挖弱信号用等波纹法（阻带最深）；被要求"指标卡死、抽头最少"时用等波纹法加过渡带放宽。

IIR 的出场场景也验证一下：一个二阶巴特沃斯低通就能达到上述 FIR 129 抽头的阻带水平，计算量相差两个量级——所以音频路径上的去加重、AGC 环路滤波都愿意用 IIR（scipy 的 butter 加 sosfilt），只要那条路径对相位失真不敏感。

8bit 设备的滤波策略

RTL-SDR 用户要补一条特殊性：量化噪声是宽带白噪声，滤波每窄一倍带宽，量化噪声功率减半——第 3.1 节的噪声账在这里兑现。于是窄带弱信号的最佳策略是"尽早抽取、逐级窄化"：第一级抽取器（比如 10 倍）用中等性能滤波器挡住大邻道，降速后用小抽头数精细滤波。反过来，一开始就用 800 抽头的窄带滤波器既浪费算力，也因群延迟过大拖慢系统响应。滤波器设计从来不是孤立问题，它与采样率规划是同一道题的两半。

常见问题

问题：抽头数到底怎么快速估算？

一条工程近似：抽头数约等于 4 乘采样率再除以过渡带宽。采样率 2.048 MHz、过渡带 20 kHz，得到约 410 个抽头；同指标下把采样率先抽到 204.8 kHz 再设计，只需约 41 个。这个式子是本章最重要的数字，值得背下来。

问题：为什么线性相位对数字通信如此致命般重要？

星座判决依赖符号的相位取值。非线性相位的滤波器让不同频率成分延迟不同，波形整形后星座点被系统性扭曲——点云不再以象限中心对称，误码率凭空上升。语音广播听不出相位失真，数字通信处处受制，这就是 FIR 占绝对多数的根本原因。

问题：IIR 会不会完全被淘汰？

不会。算力受限的嵌入式场景（助听器、传感器节点）与控制环路（AGC、锁相环的环路滤波）仍然是 IIR 的主场。工程上正确的问法不是"哪个先进"，而是"这条路径对相位失真敏不敏感、算力账怎么算"。

本节要点回顾

• FIR 是 SDR 默认：线性相位保护波形形状，无条件稳定；代价是抽头数与延迟。
• 抽头账本：抽头数约等于采样率除以过渡带宽乘 4，先抽取再滤波省一个量级。
• 三种设计法：窗函数通带最平、等波纹阻带最深、firls 居中，按需求选。
• IIR 的位置：算力极紧且相位不敏感的路径（音频、控制环路）。

滤波器的理论账算清了，下一节回到 GRC：firdes 函数族如何把这套设计流程变成流图里的几个参数框。