2.1 表达式与公式：会变形的符号

2.1 表达式与公式：会变形的符号

代数表达式是用运算符号把数与字母连起来的式子，如 3x + 2 或 x 平方减 5x 加 6。本节处理表达式的三套核心变形：合并与展开、乘法公式、因式分解。它是第二章"未知数 x 的一生"的起点——x 刚出生，还不知道自己是几，但我们已经能对它做加工。后续解方程、研究函数全部依赖这里的变形语法。

一个表达式能吃能吐

表达式像一台没有装输入的机器：x 平方减 5x 加 6 这台机器，喂进 0 吐出 6，喂进 2 吐出 0，喂进 3 也吐出 0。喂出 0 的那两个输入格外重要——它们就是下一节方程的根。变形的意义在于：同一台机器有很多种写法，有的写法便于求值，有的便于看出零点，有的便于配平。会变形 = 会挑写法。

先做最基础的：合并 3x + 2x - 7 + x 平方 - 4x + 5。按次数分组：x 平方项一个；x 项 3+2-4 = 1 个；常数 -7+5 = -2。结果：x 平方 + x - 2。规则只有一句话：同类项（字母与次数都相同）才能合并。

乘法公式：三个必背的压缩包

展开 (a+b) 平方，用分配律老老实实乘：a 平方 + ab + ab + b 平方 = a 平方 + 2ab + b 平方。同理 (a-b) 平方 = a 平方 - 2ab + b 平方。第三个：(a+b)(a-b) = a 平方 - ab + ab - b 平方 = a 平方 - b 平方。这三个公式是"压缩包"——展开很长的计算被压成一行，背下来到处提速。

实战：展开 (2x + 3) 平方。套第一个公式，a 换成 2x、b 换成 3：4 倍 x 平方 + 12x + 9。再展开 (x - 5)(x + 5)：直接得 x 平方 - 25。

>>> from sympy import symbols, expand
>>> x = symbols('x')
>>> expand((2*x + 3)**2)
4*x**2 + 12*x + 9
>>> expand((x - 5)*(x + 5))
x**2 - 25
>>> expand((x + 2)*(x - 3)*(x + 1))   # 三项连乘也照吃不误
x**3 - 7*x - 6
​

第三个例子手算要乘两次：先 (x+2)(x-3) = x 平方 - 3x + 2x - 6 = x 平方 - x - 6，再乘 (x+1)：x 三次方 + x 平方 - x 平方 - x - 6x - 6 = x 三次方 - 7x - 6，与 SymPy 一致。三次展开最容易错的就是中间项的符号——逐项乘、随手合并，比"跳步"可靠得多。

因式分解：反向打包

展开是打包后拆开，因式分解是拆开后打包。为什么费劲分解？因为乘积为零的条件极其简单：只要有一个因数为零。这是下一节解方程的钥匙。

分解 x 平方 - 5x + 6：找两个数，积为 6、和为 -5，取 -2 与 -3，得 (x - 2)(x - 3)。验证：交叉相乘再相加，-3x - 2x = -5x ✓。

分解 x 平方 - 9：直接套平方差，(x+3)(x-3)。分解 4 倍 x 平方 - 20x + 25：这是 (2x - 5) 的平方——先看完全平方再看其他。

提公因式是第一优先级：分解 6 倍 x 三次方 y - 15 倍 x 平方 y 平方，公因式 3 倍 x 平方 y，提出后得 3 倍 x 平方 y (2x - 5y)。

>>> from sympy import symbols, factor
>>> x = symbols('x')
>>> factor(x**2 - 5*x + 6)
(x - 3)*(x - 2)
>>> factor(x**3 - 7*x - 6)      # 三次也能分：先猜有理根
(x - 3)*(x + 1)*(x + 2)
>>> factor(x**4 - 16)           # 平方差叠平方差
(x - 2)*(x + 2)*(x**2 + 4)
​

第三个例子回到上面那个三次式：x 三次方 - 7x - 6 分解出 (x-3)(x+1)(x+2)，根是 3、-1、-2，x 项系数确为 -7。第四个例子展示了"叠套"：x 四次方 - 16 先看成 (x 平方 - 4)(x 平方 + 4)，前一个再分解。

等式变形的合法动作

公式变形（如从 v = u + at 解出 t）只允许对等式两边做同一件事，且保持含义：两边同加、同减、同乘、同除（除数非零）。从 v = u + at 出发：两边减 u 得 v - u = at，两边除 a 得 t = (v - u)/a。物理公式的"翻来覆去"全是这一套。

⚠️ 常见坑：约分只对乘积结构合法。x 平方比 x 在 x 非零时约成 x 没问题；但 (x 平方 - 4) 比 (x - 2) 直接"约去 x - 2"会丢掉 x = 2 这个点的讨论——正确做法是先分解成 (x-2)(x+2) 再约，并注明 x 不等于 2。

配方法：完全平方公式的隐藏用法

把 x 平方 - 6x + 2 改写成"平方加减常数"的形状：x 平方 - 6x 凑出 (x - 3) 平方 = x 平方 - 6x + 9，比原式多 7，所以原式 = (x - 3) 平方 - 7。这个变形叫配方法，它把一般二次式变成标准姿态，下一节推导求根公式全靠它，第六章判断抛物线顶点位置也靠它。心法一句：二次项系数化为 1 后，取一次项系数的一半配平方，多退少补。

>>> from sympy import symbols, expand
>>> x = symbols('x')
>>> expand((x - 3)**2 - 7)
x**2 - 6*x + 2
​

展开回去恰好还原原式，配方正确。

常见问题

问：因式分解分到什么程度算完？
答：分到每个因式在规定数域内不能再分。x 四次方 - 16 要分到 (x-2)(x+2)(x 平方+4) 三段，停在 (x 平方-4)(x 平方+4) 不算完。

十字相乘法：二次三项式的快刀

对 x 平方 + px + q 型，找两个数使"和为 p、积为 q"，直接拆成 (x + m)(x + n)。例：x 平方 + 7x + 12，找和 7 积 12 的两个数——3 与 4，得 (x + 3)(x + 4)。系数不全为 1 时（如 2 倍 x 平方 + 7x + 3），十字交叉试：2 拆 1×2、3 拆 1×3，交叉相乘再相加凑 7（1×3 + 2×3 不对；1×3 与 2×1：交叉和 = 1 + 6 = 7 ✓），得 (2x + 1)(x + 3)。十字法快但依赖试凑，分解不出来的二次式别硬凑——下一节求根公式兜底。

本节要点回顾

• 同类项合并是表达式整理的基本功，字母与次数都相同才能合并；
• 三个乘法公式（完全平方两个、平方差一个）是高速展开的压缩包；
• 因式分解的动机是"乘积为零只需一个因数为零"，它直接服务下一节解方程；
• 提公因式永远优先，再看平方差与完全平方，最后试十字相乘；
• 等式变形只允许两边同步操作；约分前先确认结构、注明排除点。

表达式会变形了，下一节给 x 一个等式，把它真正"解"出来。