2.2 方程与不等式：把 x 逼出来

2.2 方程与不等式：把 x 逼出来

方程是含未知数的等式，不等式把等号换成大小关系。本节是"x 的一生"的成长期：从一次方程的移项，到二次方程的求根公式与判别式，再到不等式解集在数轴上的表达。上一节的因式分解在这里立刻变现——乘积为零只需一个因数为零。

从一道应用题开始

一笔钱存入银行，一年后本息共 10600 元，年利率 2%。设本金为 x，方程是 1.02x = 10600。解法就一个动作：两边同除 1.02，x = 10600 ÷ 1.02 ≈ 10392.16 元。一次方程的全部秘密就是"对两边做相反的操作，把 x 单独留在一边"——移项变号、去分母、去括号，每一步都是这个原则的具体化。

>>> from sympy import symbols, solve, Eq, Rational
>>> x = symbols('x')
>>> solve(Eq(Rational(102,100)*x, 10600))
[530000/51]
>>> 530000/51
10392.156862745098
​

SymPy 用精确分数给出 530000/51，化成小数与估算一致。

二次方程：判别式先看，公式再上

解 x 平方 - 5x + 6 = 0。因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0，所以 x = 2 或 x = 3。乘积为零只需一个因数为零——上一节的分解在这里一击命中。

不是所有二次式都分解得干净。x 平方 - 4x + 1 = 0 用求根公式：判别式 Δ = b 平方 - 4ac = 16 - 4 = 12，根为 x = (4 ± 根号12)/2 = 2 ± 根号3。判别式是先遣侦察：

韦达定理不解方程就能算根的性质：两根之和 = -b/a，两根之积 = c/a。对 x 平方 - 5x + 6：和为 5、积为 6，反推两个根正是 2 与 3。对 x 平方 - 4x + 1：和为 4、积为 1——注意"和为整数、积为整数"不代表根本身是整数，2 加根号3 与 2 减根号3 恰好和 4 积 1。

>>> from sympy import solve, symbols, sqrt, expand
>>> x = symbols('x')
>>> solve(x**2 - 5*x + 6, x)
[2, 3]
>>> solve(x**2 - 4*x + 1, x)
[2 - sqrt(3), 2 + sqrt(3)]
>>> solve(x**2 + x + 1, x)         # 无实根，给出复根
[-1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]
>>> # 韦达定理复核：两根之和、之积
>>> r1, r2 = 2 + sqrt(3), 2 - sqrt(3)
>>> expand(r1 + r2), expand(r1*r2)
(4, 1)
​

第三行连接了第一章：判别式小于 0 时根躲进了复数域，正是当年逼出 i 的场景。

判别式与抛物线位置的关系

不等式：乘负数要翻向

解 2x - 5 小于 7：移项得 2x 小于 12，x 小于 6。与方程几乎一样，唯一的雷区是不等式两边乘（或除）负数时，不等号方向翻转。解 -2x + 3 小于 9：移项 -2x 小于 6，两边除 -2，翻向，x 大于 -3。

二次不等式借助图像最稳：解 x 平方 - 5x + 6 大于 0。抛物线开口向上，与横轴交于 2 和 3，图像在横轴上方对应"两头"区间：x 小于 2 或 x 大于 3。反过来 x 平方 - 5x + 6 小于 0 对应"中间"：2 小于 x 小于 3。

>>> from sympy import solve_univariate_inequality, symbols, And
>>> x = symbols('x')
>>> solve_univariate_inequality(x**2 - 5*x + 6 > 0, x)
(2 > x) | (x > 3)
>>> solve_univariate_inequality(-2*x + 3 < 9, x)
x > -3
​

SymPy 用"或"连接两个区间，与数轴上两段阴影一致。

⚠️ 常见坑：两边平方也是"隐性乘正负不明"。x 大于 2 时两边平方安全；x 小于 -2 时平方后关系反转；-2 小于 x 小于 2 时平方根本不保号。涉及平方的变形先问自己：两边的符号确定吗？

分式方程：别忘了验根

解 (x + 1)/(x - 2) = 3，标准动作是两边乘 (x - 2) 化整式：x + 1 = 3x - 6，解得 x = 3.5。但乘 (x - 2) 自带前提"x 不等于 2"，若解出的根恰好撞上禁区就是增根，必须扔掉。规矩一句：分式方程解完必验根，把根代回每个分母看是否为零。

>>> from sympy import symbols, solve
>>> x = symbols('x')
>>> solve((x + 1)/(x - 2) - 3, x)
[7/2]
>>> solve((x - 2)/(x - 2) - 1, x)   # 全体非 2 实数都满足，无孤立根
[]
​

SymPy 守规矩地不给增根。

常见问题

问：不等式两边能开平方吗？
答：先确认两边非负。x 平方大于 9 开方得 x 大于 3 或 x 小于 -3，写成"x 大于 3"就丢了解。

二元一次方程组：消元的艺术

x + y = 10、2x − y = 2：两式相加消去 y，得 3x = 12，x = 4，回代 y = 6。消元法的手法就是"用等式的合法变形制造抵消"。几何上每个方程是一条直线，解就是交点——两线平行则无解（矛盾组），重合则无穷多解。第三种解法代入法（把 y = 10 − x 代入第二式）与加减消元法结果必然一致，互相可作验算。含三个未知数时如法炮制，逐个消元降维——这是线性代数"高斯消元"的初中版雏形。

本节要点回顾

• 一次方程的解法本质：两边做相反操作，把 x 孤立出来；
• 二次方程优先试因式分解，分解不动上求根公式；判别式先行判断根的存在与个数；
• 韦达定理提供两根和与积，不解方程即可做对称计算；
• 不等式乘除负数必须翻向，平方前必须确认符号；
• 二次不等式看抛物线与横轴的位置关系，解集就是图像在轴上方或下方的部分。

根解出来了，x 的一生进入下一阶段：不再问"x 是几"，而问"x 变动时会发生什么"——函数登场。