2.3 函数与映射：从求根到看整体

2.3 函数与映射：从求根到看整体

函数是从定义域到值域的对应规则：每个输入只配一个输出。本节是"x 的一生"的转折点——视角从"解出具体的根"切换为"观察 x 变动时 y 怎么跟着变"。定义域、值域、单调性、奇偶性四件工具配齐后，一条抛物线的性格可以被完整刻画。这一节也是第六章极限与导数的直接前哨。

一台自动售货机

函数最贴切的模型是自动售货机：投一枚硬币（输入），掉出一瓶饮料（输出）。关键是规则的确定性——同一枚硬币每次掉出的东西必须一样，否则它不是函数。"x 的平方"这台机器投 3 出 9、投 -3 也出 9，这没问题（不同输入可以同输出）；但"x 的平方根"想投 4 同时出 +2 和 -2，这就违反了"一个输入只配一个输出"，所以"根号 x"被规定只出非负的那个值。

判断一个对应是不是函数，就看这条铁律。抛物线（任意竖直线最多碰曲线一次）是函数；圆不是——竖直线穿过圆会碰两次。

定义域与值域：先问机器能吃什么

函数 y = 1/(x - 2)：分母不能为零，定义域是除 2 以外的全体实数。函数 y = 根号(x - 3)：根号里不小于零，定义域是 x 不小于 3。求定义域就是列出所有"禁吃"条件：分母非零、偶次根号内非负。

值域问的是"能吐出什么"。y = x 平方吐出的全是非负数；y = 1/(x-2) 由于分子恒为 1，永远吐不出 0。直观工具是图像：值域就是曲线在纵轴上的投影。

>>> from sympy import Symbol, solve
>>> x = Symbol('x', real=True)
>>> solve(x - 3 >= 0)                     # 根号(x-3) 有意义的条件
(3 <= x) & (x < oo)
>>> solve(x**2 - 5*x + 6 == 0, x)         # 分式分母的零点
[2, 3]
​

第二个例子说明 y = 1/(x 平方 - 5x + 6) 的定义域要挖掉 2 和 3 两个点。

单调性与奇偶性：曲线的性格

单调性描述走向：一路爬升还是一路下滑。证明 y = x 平方在 x 大于 0 时递增，用定义：取 0 小于 a 小于 b，则 b 平方 - a 平方 = (b+a)(b-a)，两个因子都为正，差为正——所以 b 处函数值更大，递增得证。同理 x 小于 0 时递减。原点是这条曲线的"人生转折点"。

奇偶性描述对称：f(-x) = f(x) 为偶函数（关于纵轴对称），f(-x) = -f(x) 为奇函数（关于原点对称）。x 平方是偶函数：(-3) 平方 = 9 = 3 平方。x 三次方是奇函数：(-2) 三次方 = -8。判断手法就是把 -x 代进去比一比。f(x) = x 三次方减 x：代入 -x 得 -x 三次方加 x = -(x 三次方减 x)，奇函数。

>>> from sympy import symbols, simplify
>>> x = symbols('x')
>>> f = x**3 - x
>>> simplify(f.subs(x, -x) + f)     # 奇函数应恒等于 0
0
>>> g = x**4 + x**2 + 3
>>> simplify(g.subs(x, -x) - g)     # 偶函数应恒等于 0
0
​

两个 0 就是两份对称性证书。

描点作图与三种基本形状

手工画图的老办法是描点：y = x 平方，取 x 为 -2、-1、0、1、2，得 4、1、0、1、4，连成 U 形。三种基本形状值得刻进脑子：

程序描点可以让"看不见的形状"现形，比如 y = x 三次方 - 3x 这条有一个峰一个谷的曲线：

>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> f = x**3 - 3*x
>>> [f.subs(x, v) for v in (-2, -1, 0, 1, 2)]
[2, 2, 0, -2, 2]
​

从左到右：-2 处为 2、-1 处仍为 2、0 处 0、1 处 -2、2 处回到 2——中间必然先降后升，藏着一次"下探再回升"。峰与谷的确切位置要等第六章的导数来精确定位，这里先用数值感受形态：方程视角给根，函数视角给地形——解不出方程时，看曲线穿零的位置照样能锁定根的所在。

💡 关键直觉：函数图像把"运算规则"变成"几何形状"，每种运算都有自己的签名曲线。看到式子能浮现形状，看到形状能猜出式子，函数就算学活了。

复合与反函数：函数的乐高

两个函数可以串着用：f(x) = x + 1 与 g(x) = x 平方，复合 g(f(x)) = (x+1) 平方——先加一再平方，从里往外读。调换顺序结果不同：f(g(x)) = x 平方 + 1，复合不可交换。

反函数是把机器倒着开：f 把 3 变 7，反函数就把 7 变回 3。倒开的门票是一一对应——x 平方在全体实数上不一一（3 与 -3 挤在 9），限制到 x 不小于 0 后才可以倒开得根号 x。图像上反函数与原函数关于直线 y = x 对称。

>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> ((x + 1)**2).subs(x, 2), (x**2 + 1).subs(x, 2)
(9, 5)
​

输入 2：先加一再平方得 9，先平方再加一得 5——顺序改变结果。

分段函数与绝对值：规则的边界

绝对值函数是人人认识的分段函数：x 不小于 0 时取 x，否则取 −x，图像是一个 V 字，顶点在原点。出租车计价也是分段：起步价段与超程段各是一条直线。分段函数的考察点总在分段边界——V 字顶点处左右斜率从 −1 跳到 1，正是第六章"不可导点"的预备案例。写分段函数要穷尽所有区间且不重叠，每段负责自己的辖区，这本身就是一种边界意识训练。

本节要点回顾

• 函数的判定铁律：一个输入只配一个输出，圆不是函数而抛物线是；
• 定义域排查三件事：分母非零、偶次根号内非负、实际问题自带限制；
• 单调性用定义证（取两点作差），奇偶性用 f(-x) 与 f(x) 比对；
• x 平方偶、x 三次方奇，多项式的奇偶看各项次数是否齐整；
• 描点连图是基本功，SymPy 的 subs 是电子描点笔；x 三次方 - 3x 的峰谷坐标留给导数揭晓。

下一节让 x 按正整数排队取值——数列是函数的离散版本，也是无穷与极限概念的起点。