3.1 平面几何与证明：不量一个数的学问

3.1 平面几何与证明：不量一个数的学问

平面几何研究点、线、圆构成的图形性质，武器是公理与演绎证明。本节是"一块土地的四种丈量法"的第一站：不量任何数，纯靠推理断定梯形是等腰的。承接第二章的符号语法（但工具换成逻辑），为 3.2 的坐标化提供"被证明的性质清单"。

从三个问题开始

给你顶点为 (0,0)、(6,0)、(5,3)、(1,3) 的四边形，问三个问题：它是梯形吗？是等腰梯形吗？面积是多少？本章贯穿案例就这一个。这一节的回答方式最"古希腊"：不代数字，只讲道理。要做到这一点，先得把证明的两块基石——全等与相似——过一遍。

全等：一模一样的两个图形

全等指形状大小完全相同（能完全重合）。三角形的全等判定有四条主流路径：

• 边边边（SSS）：三边对应相等；
• 边角边（SAS）：两边及其夹角相等；
• 角边角（ASA）：两角及其夹边相等；
• 角角边（AAS）：两角及其中一角的对边相等。

注意边边角（SSA）不在名单里：两边与其中一边的对角相等时，可能拼出两个不同的三角形——拿圆规直尺试一次就明白，第二个交点常有两个候选。这是初学几何第一坑。

内角和定理的证明值得每个学习者亲手写一遍：过顶点 A 作对边的平行线，两个内角借助内错角"搬"到平行线上，三个角拼成一条平角，故三角形内角和为 180 度。两行推理，用到的东西只有"平行线的内错角相等"这一条公理推论。外角定理随之而来：任一外角等于两不相邻内角之和。

相似：形状一样、大小随便

相似只要求形状相同（角度全等、对应边成比例）。判定三角形相似最常用两条：两角相等（AA）；两边成比例且夹角相等。相似比是核心概念：相似比为 k 时，周长比是 k，面积比是 k 的平方——放大 2 倍的地图，面积变成 4 倍，这一点常被直觉误判。

>>> from sympy import Rational, sqrt
>>> # 相似三角形验证：边 3,4,5 与边 6,8,10
>>> t1 = (Rational(3), Rational(4), Rational(5))
>>> t2 = (Rational(6), Rational(8), Rational(10))
>>> [a/b for a, b in zip(t2, t1)]       # 对应边之比
[2, 2, 2]
>>> # 勾股定理复核：3平方 + 4平方 = 5平方
>>> 3**2 + 4**2 == 5**2
True
​

对应边之比清一色为 2，相似成立。勾股定理本身可由相似证明：斜边上的高把直角三角形分成两个小三角形，三个三角形两两相似，对应边成比例推出斜边平方等于两直角边平方之和。

几何证明长什么样：一道完整例题

命题：等腰三角形两底角相等。

证明：设三角形 ABC 中 AB = AC。作顶角 A 的角平分线 AD 交 BC 于 D。在三角形 ABD 与 ACD 中：AB = AC（已知），角 BAD = 角 CAD（角平分线定义），AD = AD（公共边）。由 SAS，两三角形全等，故角 ABD = 角 ACD。证毕。

写证明的要诀是每一步都挂靠依据（已知、定义、公理、已证定理），读者能顺着检查任何一行。几何证明训练的就是这种"可检查的推理"习惯——它的价值远超几何本身。

回到那块地：证明它是等腰梯形

四边形顶点 (0,0)、(6,0)、(5,3)、(1,3)。上边从 (1,3) 到 (5,3) 平行于横轴，下边从 (0,0) 到 (6,0) 也平行于横轴——一组对边平行且不等，另一组对边（左右两条斜边）不平行，梯形判定成立。等腰呢？这一步严格说需要长度计算，属于下一节的坐标法职权范围；本节先用几何语言把判定标准立好：两腰相等的梯形是等腰梯形，等腰梯形的对角线相等、同一底上两角相等。下一节用距离公式算出两条腰都等于根号 10，判定即告完成。

>>> from sympy import sqrt
>>> # 预演下一节：左腰 (0,0)-(1,3)，右腰 (6,0)-(5,3)
>>> sqrt((1-0)**2 + (3-0)**2), sqrt((5-6)**2 + (3-0)**2)
(sqrt(10), sqrt(10))
​

两腰相等，等腰梯形坐实——但请注意这里已经悄悄用了坐标，纯几何证法需要圆规直尺作图配合全等，本节末尾的要点回顾里留了思考方向。

💡 关键直觉：全等与相似是平面几何的两大"传输机"——把已知条件从一个三角形搬运到另一个三角形。拿到题先找这两台机器。

圆的力量：几个必记定理

圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半。最常用的推论：直径所对的圆周角是直角——这是"找直角"的经典机关。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。四条在手，圆的证明题大半有了抓手。

>>> from sympy import Point, Circle
>>> c = Circle(Point(0, 0), 5)
>>> p = c.random_point(seed=3)
>>> float(Point(-5,0).distance(p)**2 + p.distance(Point(5,0))**2)
100.000000000000013
​

圆上任意点到直径两端 (-5,0)、(5,0) 的距离平方和恒等于直径的平方 100——勾股定理的圆周角形态，随机采样也逃不出这条定理。

常见问题

问：证明里写"显然"会扣分吗？
答：会。"显然"的意思是"我认为读者会自己补"，而评分标准认为该补的正是得分点。把显然处写成一两句带依据的推理，是证明题的及格线。

本节要点回顾

• 全等四判定 SSS、SAS、ASA、AAS；SSA 不行，两边一对角可能造出两个三角形；
• 内角和 180 度的证明 = 平行线搬运内错角，两行搞定；
• 相似比为 k 时周长比 k、面积比 k 平方；
• 勾股定理可由相似严格证明，斜边平方恒等于两直角边平方和；
• 证明的纪律：每一步挂依据（已知/定义/公理/已证）；
• 贯穿案例四边形已被定性为梯形，等腰性留待坐标法补刀。

下一节请出笛卡尔的坐标系，把这块地变成四个数对，一切定性结论变成加减乘除。