3.2 解析几何：坐标法算几何

3.2 解析几何：坐标法算几何

解析几何由笛卡尔创立，用坐标系把几何图形翻译成代数方程：点变成数对、线变成方程、交点变成方程组的解。本节用坐标法算清贯穿案例的所有数量：边长、面积、平行与垂直。它是对 3.1 定性结论的"定量结算"，也是第六章函数图像的舞台搭建。

一个点就是两个数

在平面上竖两条垂直的数轴（横轴、纵轴），任何点 P 唯一对应一对数 (a, b)——横坐标与纵坐标。这个简单装置的威力在于：几何问题从此可以翻译成代数问题。"两点距离多远"变成一个公式，"三线是否共点"变成一个方程组。

贯穿案例的四边形在坐标纸上标定：A(0,0)、B(6,0)、C(5,3)、D(1,3)。

距离、中点与斜率

距离公式来自勾股定理：两点 (x1,y1)、(x2,y2) 的距离 = 根号下（横坐标差的平方加纵坐标差的平方）。手算 A 到 D：根号下（1 的平方 + 3 的平方）= 根号 10。B 到 C：根号下（(5-6) 平方 + 3 平方）= 根号 10。两腰相等——等腰梯形判定完成，补上了 3.1 留下的最后一环。

中点公式：两坐标分别取平均。AD 中点 = (0.5, 1.5)。

斜率：直线的倾斜程度，纵坐标差除以横坐标差。上边 DC：纵差 0，斜率 0；下边 AB：斜率 0——两底平行。左腰 AD 斜率 3/1 = 3；右腰 BC 斜率 (3-0)/(5-6) = -3。两腰斜率互为相反数，图像关于竖直线 x = 3 对称——等腰梯形的对称性在斜率上现形。

直线的方程与位置关系

斜率 m、过点 (x0, y0) 的直线方程：y - y0 = m(x - x0)。AB 是 y = 0；DC 是 y = 3；AD 是 y = 3x；BC 是 y = -3(x - 6) = -3x + 18。

平行：斜率相等（且不重合）。垂直：斜率乘积为 -1。AD 斜率 3、BC 斜率 -3，乘积 -9 不等于 -1，两腰不垂直，符合梯形形状。

点到直线距离：点 (x0,y0) 到直线 ax + by + c = 0 的距离 = |ax0 + by0 + c| 除以根号下（a 平方加 b 平方）。手算 D(1,3) 到下底 y = 0（即 0·x + 1·y - 0 = 0）的距离：|3|/根号 1 = 3。这就是梯形的高。

面积：三管齐下

办法一（梯形公式）：上底从 (1,3) 到 (5,3) 长 4，下底从 (0,0) 到 (6,0) 长 6，高 3（纵坐标之差），面积 = (4+6)×3÷2 = 15。

>>> from sympy import Point, Polygon, sqrt
>>> A, B, C, D = Point(0,0), Point(6,0), Point(5,3), Point(1,3)
>>> A.distance(D), B.distance(C)          # 两腰
(sqrt(10), sqrt(10))
>>> Polygon(A, B, C, D).area              # 鞋带公式 / 多边形面积
15
​

办法二（鞋带公式）：顶点按顺序写坐标，交叉相乘求和：0×0 - 6×0 + 6×3 - 5×0 + 5×3 - 1×3 + 1×0 - 0×3 = 0 + 18 + 12 + 0 = 30，取绝对值再除 2，得 15。与 SymPy 一致。

办法三（分割）：梯形 = 矩形 (4×3) + 两个直角三角形 (各 0.5×1×3) = 12 + 3 = 15。三种办法一个答案，这种"多路合围"是坐标法的日常享受。

>>> # 圆心距与切线判定：圆 (x-3)^2 + y^2 = 9 与直线 y = 3
>>> # 圆心 (3,0) 半径 3；直线即 y - 3 = 0
>>> from sympy import Abs, Rational
>>> d = Abs(0*3 + 1*0 - 3)/sqrt(0**2 + 1**2)
>>> d == 3          # 距离恰等于半径
True
​

圆心到直线距离恰好等于半径 3，直线与圆相切——上底 y = 3 正好趴在圆顶上。距离公式顺手解决了位置关系判定。

⚠️ 常见坑：斜率对"竖直线"无定义（横坐标差为 0，除数为零）。判断竖直线与其他线的位置关系要单独讨论，别硬套乘积 -1 的条件。

对称与轨迹：坐标法的进阶玩法

点 (a, b) 关于横轴对称是 (a, -b)、关于纵轴是 (-a, b)、关于原点是 (-a, -b)、关于直线 y = x 是 (b, a)。曲线的对称由点的对称推出：奇函数图像关于原点对称，圆关于三条轴全对称。

轨迹方程是坐标法的招牌菜：到定点 (3, 0) 与定直线 x = -3 距离相等的点集是什么？设动点 (x, y)，把"两距离相等"翻译成方程再展开化简，得 y 平方 = 12x——一条抛物线。先设动点坐标、再翻译几何条件、最后化简，三步之后几何问题彻底变成代数问题。

>>> from sympy import symbols, simplify
>>> x, y = symbols('x y', real=True)
>>> simplify((x - 3)**2 + y**2 - (x + 3)**2)
y**2 - 12*x
​

化简结果 y 平方 - 12x 等于零，即 y 平方 = 12x，与手算一致。

常见问题

问：怎么选坐标系能省事？
答：利用对称。等腰梯形把对称轴当纵轴、圆把圆心放原点——好的坐标系让方程少掉一半项，这是解析几何的"选址学"。

两点式与截距式：直线方程的多种写法

直线方程不止点斜式一种写法：过两点的两点式（纵差比横差相等）、与两轴交点的截距式（x 除以 a 加 y 除以 b 等于 1）。写法选择看已知条件：已知斜率与一点用点斜式，已知两点用两点式，已知两截距用截距式。它们之间可以互化——同一条直线、多副面孔，与 2.1 节"同一台机器多种写法"的教训一脉相承。竖直线（x = c）是所有写法的公共盲区：它的斜率不存在，只能用最朴素的方式表达。

两直线交点：方程组的几何回声

AD 所在直线 y = 3x 与 BC 所在直线 y = −3x + 18 的交点，代数上就是联立求解：3x = −3x + 18，x = 3，y = 9——两腰延长线相交于 (3, 9)。它恰好落在对称轴 x = 3 上，比底边高 9 − 3 = 6（梯形高的两倍）：等腰梯形的对称性把交点顶到中轴正上方。斜率 3 对应的倾角约 71.6 度，与竖直方向夹角约 18.4 度，两者互余——坐标法连"互余"这种角度关系都能验证，几何性质在代数面前无处遁形。

本节要点回顾

• 距离公式是勾股定理的坐标化身；中点取平均、斜率取纵差比横差；
• 平行 = 斜率相等；垂直 = 斜率乘积 -1（竖直线除外）；
• 点线距离公式把"高"变成计算；贯穿案例的高 = 3、面积 = 15（三种办法互证）；
• 鞋带公式一次算任意多边形面积，顶点必须按顺序；
• 坐标法的本质红利：几何判定变成代数等式的验证，机械但万能。

平面摆平了，下一节升维：把这块梯形立起来，堆成堤坝、挤出体积。