5.1 数据描述与整理：把观察变成数字

5.1 数据描述与整理：把观察变成数字

描述统计用几个关键数字概括一整批数据：均值、中位数、方差、标准差。本节用一班学生的身高数据手算全部统计量，讨论"均值被极端值绑架"的经典陷阱，并引入频数分布表与直方图。它是"骰子争论"的前半段——大公先得有长期观察记录，才谈得上比较频率。

一组数据先摆上桌

某班 15 名学生的身高（厘米）：158, 162, 165, 167, 168, 170, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 178, 180, 185。

均值：全加起来除以 15。求和 = 158+162+165+167+168+170+170+171+172+174+175+176+178+180+185。逐个累加：158+162=320；+165=485；+167=652；+168=820；+170=990；+170=1160；+171=1331；+172=1503；+174=1677；+175=1852；+176=2028；+178=2206；+180=2386；+185=2571。均值 = 2571 ÷ 15 = **171.4 厘米**。

中位数：排序后取正中间（第 8 个）= 171 厘米。15 个数恰好奇数个，中位数唯一。

众数：出现次数最多的 170（出现两次）。

>>> data = [158,162,165,167,168,170,170,171,172,174,175,176,178,180,185]
>>> sum(data)/len(data)
171.4
>>> sorted(data)[7]                    # 中位数：排序取第 8 个
171
>>> from statistics import mean, median, stdev
>>> mean(data), median(data)
(171.4, 171)
​

手算与 statistics 模块一致。

均值会撒谎：极端值的绑架案

把最后一个 185 换成篮球特长生的 201：均值变为 (2571 - 185 + 201) ÷ 15 = 2587 ÷ 15 ≈ 172.47——涨了 1 厘米；中位数纹丝不动（还是第 8 位的 171）。若换成 2 米 21 的校队中锋：均值 ≈ 173.8，中位数依旧 171。三个"中心"的个性一目了然：

"平均工资被老板拉高"的新闻争议，本质就是均值与中位数的差异——看到"平均"二字先问一句：分布偏不偏？

方差与标准差：离散程度的度量

中心说了"大概多高"，还差一句"参差到什么程度"。方差 = 各数与均值之差的平方的平均：s 平方 = Σ(xi − 均值) 平方 ÷ n。标准差是方差的算术平方根，量纲回到原单位。

手算（用原始数据，均值 171.4）：

• 偏差：-13.4, -9.4, -6.4, -4.4, -3.4, -1.4, -1.4, -0.4, 0.6, 2.6, 3.6, 4.6, 6.6, 8.6, 13.6
• 平方和：179.56 + 88.36 + 40.96 + 19.36 + 11.56 + 1.96 + 1.96 + 0.16 + 0.36 + 6.76 + 12.96 + 21.16 + 43.56 + 73.96 + 184.96

逐项累加：179.56+88.36=267.92；+40.96=308.88；+19.36=328.24；+11.56=339.8；+1.96=341.76；+1.96=343.72；+0.16=343.88；+0.36=344.24；+6.76=351；+12.96=363.96；+21.16=385.12；+43.56=428.68；+73.96=502.64；+184.96=**687.6**。

方差 = 687.6 ÷ 15 = 45.84（总体口径）；标准差 ≈ 6.77 厘米。

>>> from statistics import pvariance, pstdev
>>> pvariance(data), pstdev(data)
(45.84, 6.770538980589944)
>>> # 换上 2米21 特长生后的对比
>>> data2 = data[:-1] + [221]
>>> round(pstdev(data2), 2)
12.24
​

一人之差，标准差从 6.77 飙到 12.24——离散度对极端值比均值更敏感（平方放大了离群的偏差）。

频数分布表与直方图

把数据分组：155-160 一人、161-165 两人、166-170 五人、171-175 五人、176-180 两人、181-185 一人。直方图上一看便知：中间高两头低，接近对称——这个形状在 5.3 节将升格为"正态分布"的原型。

⚠️ 常见坑：样本标准差（除 n−1）与总体标准差（除 n）是两个口径，小样本时差异明显（本例 n=15：样本方差 49.11，比总体口径大 7%）。看文献报标准差先查清楚口径。

标准化：把两场考试放进同一把尺

小明数学 85 分（全班均值 78、标准差 6），英语 88 分（均值 82、标准差 10），哪科相对更好？原始分不可比，标准化后可比：z 分数 = (原始分 − 均值) ÷ 标准差。数学 z = 7/6 ≈ 1.17，英语 z = 6/10 = 0.60——数学的相对位次明显更高。z 的含义是"高于均值几个标准差"，正态世界里约 84% 的人低于 z = 1.17。5.3 节的正态分布将给这个直觉精确形状。

>>> (85-78)/6, (88-82)/10
(1.1666666666666667, 0.6)
​

常见问题

问：什么时候看中位数、什么时候看均值？
答：分布对称无离群点时两者接近；一旦右偏（收入、房价、响应时间常如此），均值被长尾拖高，中位数更能代表"典型个体"。两个都报、再附标准差，是诚实做法。

问：四分位距是什么？
答：上四分位减下四分位，中间 50% 数据的宽度，比标准差更抗极端值，箱线图的"箱子"用它画边。

本节要点回顾

• 均值、中位数、众数各有所长：偏态数据报中位数更诚实；
• 方差 = 平方偏差的平均，标准差回到原单位，平方让离群点权重暴增；
• 一名 2 米 21 特长生让标准差翻近一倍——离散度是敏感指标；
• 频数直方图是分布的草图，"中间高两头低"是正态的先声；
• 两个标准差口径（n 与 n−1）不可混谈。

数据的语言备齐了，下一节给"不确定"本身立规矩——从大公数错的骰子说起。