5.2 概率基础与计数：数对样本空间

5.2 概率基础与计数：数对样本空间

概率度量随机事件发生的可能性，古典定义 = 有利结果数 ÷ 等可能结果总数。本节复现伽利略对大公的解答，练排列组合这两台计数机器，再用条件概率完成一次体检假阳性的反推。核心纪律只有一条：数之前先确认"等可能"。

大公错在哪里

掷两枚骰子，大公把"和为 7"的可能情况数成 6 种（1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1）？不——他数对了 7 的 6 种，却把和为 8 也数成了 6 种（把 4+4 加上重复计数）。正确清单：和为 7 有 6 种，和为 8 只有 5 种（2+6、3+5、4+4、5+3、6+2）。全部等可能结果是 6 × 6 = 36 种，所以：

• P(和为 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0.167
• P(和为 8) = 5/36 ≈ 0.139

大公的感觉（7 更常见）是对的，他的数法是错的。两枚骰子要区分（一枚红一枚绿），(红3, 绿4) 与 (红4, 绿3) 是两个不同结果——只有这样分，36 种结果才是等可能的；按"点数组合"去数会把 4+4 这种不可区分的组合与其他混在一起，权重就不齐了。

>>> from itertools import product
>>> from collections import Counter
>>> sums = [i + j for i, j in product(range(1, 7), repeat=2)]
>>> Counter(sums)[7], Counter(sums)[8]
(6, 5)
>>> len(sums)
36
​

枚举全部 36 种，和为 7 占 6 种、和为 8 占 5 种——伽利略的答复被机器复述了一遍。

计数的两台机器

加法原理：分类做事，方法数相加。乘法原理：分步做事，方法数相乘。两枚骰子就是乘法原理：6 × 6。

排列：从 n 个里取 k 个按顺序排：P(n, k) = n!/(n−k)!。三本书排书架：3! = 6 种。

组合：只选不排：C(n, k) = n!/(k!(n−k)!)。从 5 人里选 2 人当代表：C(5,2) = 10 种——不分先后。

手算彩票的经典账：从 33 个号码里选 6 个（不分顺序），C(33,6) = 33!/(6!·27!)。分子分步算：33×32×31×30×29×28 = 先 33×32=1056；×31=32736；×30=982080；×29=28480160；×28=797448480。除以 720（6 的阶乘）：**1,107,568** 种。中头奖概率约九十万分之一。

>>> from math import comb, perm, factorial
>>> perm(3, 3), comb(5, 2)
(6, 10)
>>> comb(33, 6)
1107568
>>> comb(49, 6)          # 双色球大盘口径再感受一下
13983816
​

49 选 6 的组合数接近 1400 万——概率直觉在组合数面前经常失灵，这正是"要动手数"的理由。

条件概率与一次反推

条件概率 P(A|B) = P(A 与 B) ÷ P(B)：已知 B 发生后 A 的概率。乘法链：P(A 与 B) = P(B) × P(A|B)。

实战案例：某病发病率 1%，检测试剂对病人 99% 呈阳性、对健康人 5% 误报阳性。某人测出阳性，真患病概率多大？设 1 万人：

• 病人 100 人，其中阳性 99 人；
• 健康人 9900 人，其中误报阳性 9900 × 5% = 495 人；
• 阳性总数 = 99 + 495 = 594，其中真病人 99 人。

P(患病 | 阳性) = 99 ÷ 594 = 1/6 ≈ 16.7%。反直觉但正确：因为健康人基数大，5% 的误报淹没了 99% 的检出率。这个"自然频率"算法（想象 1 万人）比公式直白得多，是贝叶斯思维的入门姿势。

>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(99, 100)*Fraction(1,100), Fraction(5,100)*Fraction(99,100)  # 两类阳性来源
(99/10000, 495/10000)
>>> Fraction(99, 10000) / (Fraction(99, 10000) + Fraction(495, 10000))
1/6
​

答案精确为 1/6。

独立与互斥：别混为一谈

独立：一事件不影响另一事件的概率（P(A|B) = P(A)），两枚骰子相互独立。互斥：两事件不能同时发生（P(A 与 B) = 0），"和为 7"与"和为 8"互斥。互斥事件若都有正概率则必不独立（一个发生，另一个概率直接归零——影响大到不能再大）。骰子题里"和为 7 或和为 8"用加法：6/36 + 5/36 = 11/36（互斥才能直接加）；"红骰 3 且和为 7"用乘法：1/6 × 1/6 = 1/36（独立才能直接乘）。

⚠️ 常见坑：P(A 或 B) 直接相加只对互斥成立，一般情形要扣掉重叠：P(A) + P(B) − P(A 与 B)。

生日悖论：直觉的又一次溃败

房间里多少人，"有两人生日相同"的机会过半？直觉喊"一百多"，正确答案 23 人。算对立事件"两两不同"：第 2 人避开第 1 人 364/365，第 3 人再避开 343/365……连乘到第 23 人后取补。

>>> from fractions import Fraction
>>> p = Fraction(1)
>>> for k in range(23):
...     p *= Fraction(365 - k, 365)
>>> float(1 - p)
0.5072972343239857
​

23 人时概率 0.5073 刚过半。直觉错在把"有人和我同生日"（需两百多人过半）与"任意两人同生日"混为一谈——23 人两两配对有 C(23,2) = 253 对，机会攒得快。

常见问题

问：赌徒连输十把，下一把该加倍押注吗？
答：不该。每把独立，骰子不记得前十把。把独立事件当有记忆的连锁，是赌场最欢迎的错觉。

本节要点回顾

• 古典概率 = 有利数 ÷ 等可能总数，"等可能"必须先验成立——大公的错在数法不在直觉；
• 排列管顺序 P(n,k)，组合不管顺序 C(n,k)，先分类分步再套公式；
• 组合数增长远超直觉：33 选 6 已超百万；
• 条件概率 P(A|B) = 联合 ÷ B；自然频率法让贝叶斯反推变得可心算（阳性中真病仅 1/6）；
• 互斥可加、独立可乘，两者互斥事件不独立。

单个事件的概率算熟了，下一节把"点数和"整体看成一个变量——分布登场。