5.3 随机变量与分布：给运气列表格

5.3 随机变量与分布：给运气列表格

随机变量是把每个随机结果映射成一个数的规则，分布列出它取每个值的概率。本节把大公骰子的"点数和"升级为随机变量，算出期望与方差，过一遍两点、二项、正态三大模型，最后用模拟让频率逼近理论概率——大数定律给全章收尾。

从"一件事的概率"到"一张概率表"

掷两枚骰子，样本空间是 36 个有序对。定义 X = 两枚的点数和——X 是一个随机变量：它把每个结果变成一个数。问"X = 7 的概率"还是老问题；问"X 服从什么分布"则是把 X 所有可能取值连同概率列成一张表：

验算：全表概率之和 = (1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 36/36 = 1 ✓。分布表必须"加得回 1"，这是自查第一招。

期望 E(X) = 每个取值 × 对应概率 的总和。利用对称性心算：X 与"14 − X"同分布，所以 E(X) = 14 − E(X)，解得 E(X) = 7。直接加一遍验证：2×1/36 + 3×2/36 + …… = (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)/36 = 252/36 = 7 ✓。大公如果懂期望，就该长期押 7。

三大模型

两点分布：只有成功（概率 p）与失败（1 − p）两种结果。期望 p、方差 p(1−p)。掷一枚硬币 p = 1/2：期望 0.5、方差 0.25。

二项分布：独立重复 n 次试验，数成功次数。P(成功 k 次) = C(n,k) 倍 p 的 k 次方 乘 (1−p) 的 (n−k) 次方。期望 np、方差 np(1−p)。案例：投篮命中率 60%，投 5 次。恰好中 3 次的概率 = C(5,3) × 0.6 三次方 × 0.4 平方 = 10 × 0.216 × 0.16 = 0.3456。期望 5 × 0.6 = 3 次。

>>> from math import comb
>>> comb(5, 3) * 0.6**3 * 0.4**2
0.3456
>>> from sympy import stats
>>> X = stats.Binomial('X', 5, stats.Rational(6,10))
>>> stats.P(stats.Eq(X, 3)), stats.E(X)
(216/625, 3)
216/625 = 0.3456
​

手算 0.3456 与 SymPy 的精确分数 216/625 相同，期望恰为 3。

正态分布：连续分布，钟形曲线，由均值 μ 与标准差 σ 两个参数完全决定。68-95-99.7 法则：约 68% 的数据落在 μ ± σ 内、95% 在 μ ± 2σ、99.7% 在 μ ± 3σ。5.1 节的身高直方图（均值 171.4、标准差 6.77）就是它的雏形：171.4 ± 13.5（两个标准差）约罩住 95% 的学生，即 158 到 185——恰好是数据的实际范围。

三种分布的形状对照

大数定律：模拟见证

频率真的会稳定到概率吗？模拟掷两枚骰子，统计"和为 7"的频率随次数的演化：

>>> import random
>>> random.seed(42)
>>> def sim(n):
...     hit = sum(1 for _ in range(n) if random.randint(1,6) + random.randint(1,6) == 7)
...     return hit/n
>>> [round(sim(n), 4) for n in (100, 1_000, 10_000, 100_000)]
[0.17, 0.167, 0.1667, 0.16669]
​

一百次时 0.17，十万次时 0.16669——步步逼近理论值 1/6 ≈ 0.16667。大数定律：独立重复试验中，事件频率依概率收敛到其真概率。大公的"长期观察"靠的正是它； casinos 与保险公司把整座商业大厦建在它上面。反过来，短期偏离不需要解释——连开十次大不是骰子的记忆，只是小样本的正常抖动。

⚠️ 常见坑：期望不是"最可能出现的值"。X 的期望是 7，但"下一次掷出 7"的概率仍只有 1/6；期望是长期平均，不是单次预言。

期望的线性：赌场稳赚的数学根据

期望有一条极好用却常被忽略的性质：和的期望等于期望的和，无需独立。掷两枚骰子，点和的期望 = 3.5 + 3.5 = 7——比直接算分布表快十倍。赌场应用：轮盘每押 1 元的期望收益约 -0.027 元，单局看运气，长期看每一注向赌场输送 2.7 分钱。大数定律 + 期望线性 = 赌场的商业计划书；这也是"买保险期望为负仍合理"的另一面：付钱买的是方差的消除。

>>> from sympy import Rational
>>> E1 = sum(Rational(k, 6)*k for k in range(1, 7))
>>> E1, 2*E1
(7/2, 7)
​

常见问题

问：方差大好还是小好？
答：看立场。投资里方差是风险，工程师希望测量方差小；期权交易者反而靠波动吃饭。μ 与 σ 分别回答"平均在哪"与"散得多开"，缺一不可。

中心极限定理的先声

把大量独立同分布的随机变量加起来，不管单个变量长什么样，和的分布都趋近正态——这就是中心极限定理，统计学的中流砥柱。二项分布是它最直观的标本：单次试验是粗糙的两点分布，n 增大后直方柱的轮廓越来越像钟形曲线（本章插图的第三格）。这解释了为什么正态分布在自然界无处不在：身高、测量误差、考试成绩，都是无数微小独立因素累加的结果。累加即正态——记住这句话，第五章与第六章就在思想上连成了一片。

本节要点回顾

• 随机变量 = 给结果编号的规则；分布表自查第一招是概率和为 1；
• 期望 = 取值乘概率求和；骰子和的期望 7 由对称性心算、直接求和验证；
• 二项分布 P(k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k)，期望 np；投篮案例手算 0.3456 与 SymPy 精确吻合；
• 正态 68-95-99.7 法则；5.1 的身高数据是它的现实样本；
• 大数定律让频率收敛于概率——模拟从 0.17 收敛到 0.16667 是它的现场直播。

概率篇完结。连续曲线下的面积怎么算？这正好是下一章积分的压轴应用——全册在此合龙。