6.1 极限与连续性：逼近的终点站
6.1 极限与连续性：逼近的终点站
极限描述变量无限逼近时的归宿，连续要求函数值与极限一致。本节是微积分的第一块地基：第二章的级数、第一章的实数完备性在此汇合，为导数（差商的极限）与积分（矩形和的极限）提供合法手续。案例主角依然是那条抛物线。
一个填空题引发的千年严谨化
0.9（循环节 9，即 0.9999…… 无限循环）等于 1 吗？直觉说"差一点"，极限说恰恰等于：0.9 循环是数列 0.9、0.99、0.999……的极限，而这个数列与常数列 1、1、1……的距离（0.1、0.01、0.001……）趋于零，两者逼向同一点。微积分诞生后前两百年，"无限逼近"全靠这类直觉撑着，直到柯西与魏尔斯特拉斯给出 ε-N 定义，把"要多近有多近"翻译成有限步骤可验证的语言：对任意小的正数 ε，存在 N，n 超过 N 后 |an − L| 恒小于 ε。极限从此是可以检验的陈述，不是感觉。
手算三个极限
数列极限：an = (2n + 1)/n。分子分母同除 n：an = 2 + 1/n，n 增大时 1/n 趋零，极限 = 2。
函数极限：x 趋于 2 时 (x 平方 − 4)/(x − 2)。直接代入得 0/0（不能下结论，只能说明要变形）。因式分解：分子 = (x−2)(x+2)，约去公因式得 x + 2，极限 = 4。注意：x = 2 处函数根本没有定义，但极限照算——极限关心"逼近路上"，不关心"到达那一刻"。
重要极限：x 趋于 0 时 sin x ÷ x = 1（弧度制！4.1 埋的伏笔在此兑现——单位圆上小角度的弧与正弦弦长几乎重合）。数值感受：sin(0.1)/0.1 ≈ 0.9983，sin(0.01)/0.01 ≈ 0.99998。
>>> import math >>> [round(math.sin(x)/x, 6) for x in (0.5, 0.1, 0.01, 0.001)] [0.958851, 0.998334, 0.999983, 1.0] >>> from sympy import limit, symbols, oo, sin >>> x, n = symbols('x n', positive=True) >>> limit((2*n + 1)/n, n, oo) 2 >>> limit((x**2 - 4)/(x - 2), x, 2) 4 >>> limit(sin(x)/x, x, 0) 1
采样逼近与符号极限互相印证。
单侧极限与间断点分类
x 从右侧趋于 a 记 x → a+，左侧记 x → a−。极限存在要求左右极限都存在且相等。由此得到间断点三分类，用经典例子过一遍：
- 可去间断：f(x) = (x 平方−4)/(x−2) 在 x = 2 处——左右极限都是 4，只是函数值缺席。补定义 f(2) = 4 即修复；
- 跳跃间断：f(x) = |x| ÷ x 在 x = 0 处——左极限 -1、右极限 +1，跳了一格，补不上；
- 无穷间断：f(x) = 1 ÷ x 平方在 x = 0 处——两侧都冲向正无穷。
>>> from sympy import limit, symbols >>> x = symbols('x', real=True) >>> limit(abs(x)/x, x, 0, dir='+'), limit(abs(x)/x, x, 0, dir='-') (1, -1) >>> limit(1/x**2, x, 0, dir='+') oo
单侧极限把三张"病例卡"存档。
连续：不出局的函数
函数在 a 点连续 = 三件事齐备：a 处有定义、极限存在、两者相等。区间上每点都连续则函数在区间连续。闭区间上连续函数两条保证：一定取到最大最小值（有界且可达）；介于两值之间的每个数都被取到（介值定理）。介值定理有个朴素应用：身高连续的人从 1.6 米走到 1.8 米，中间每一厘米的高度都必然经过——同理，f(0) 与 f(1) 异号且 f 连续，(0,1) 内必有根。这就是"二分法求根"的合法性证明：每次砍半，根始终被关在不断缩小的区间里。
>>> from sympy import symbols >>> x = symbols('x') >>> f = x**3 + x - 1 # f(0) = -1, f(1) = 1，连续必有根 >>> # 二分五步，根被夹进越来越窄的区间 >>> lo, hi = 0, 1 >>> for _ in range(5): ... mid = (lo + hi)/2 ... lo, hi = (mid, hi) if f.subs(x, mid) < 0 else (lo, mid) >>> round(lo, 4), round(hi, 4) (0.6797, 0.6953)
五次对半，根被锁定在宽度约 0.016 的区间内——极限思想的第一次工程变现。
⚠️ 常见坑："0/0 型"不是极限不存在的证据，而是"需要变形"的信号——因式分解、有理化、重要极限都是常用的变形手段。真正宣判不存在的是左右极限不相等或趋于无穷。
无穷小的阶：谁比谁更快趋零
x 趋于 0 时，x 平方比 x "更小"——小到可忽略的程度不同。形式化：比较两者之比的极限，同阶（比值趋于非零常数）、高阶（比值趋于零）。工程含义：误差分析里一阶误差要紧、二阶误差常可扔——泰勒展开只取前几项就能逼近函数的理论底气，也是数值计算"截断误差"的度量语言。
>>> from sympy import limit, symbols, cos >>> x = symbols('x') >>> limit((1 - cos(x))/x**2, x, 0) 1/2 >>> limit(x**2/sin(x), x, 0) 0
一减余弦与 x 平方同阶（比值 1/2），x 平方比 sin x 更快趋零。
常见问题
问：数列极限与函数极限差在哪？
答：数列只沿正整数离散逼近，函数沿连续轴可从任意方向逼近。定义结构相同，函数版还要讨论左右两侧。
本节要点回顾
- 极限的 ε-N 定义把"无限逼近"变成可验证陈述；0.9 循环 = 1 是极限观的第一课；
- 0/0 型靠变形后求极限，函数在目标点无定义不妨碍极限存在；
- 重要极限 sin x ÷ x 趋于 1 仅在弧度制下成立；
- 间断三分类：可去（补得上）、跳跃（跳一格）、无穷（冲天）；
- 连续 + 端点异号 ⇒ 区间内有根，二分法据此收敛。
极限手续办好了，下一节把它套在差商上——瞬时变化率合法诞生。