6.2 导数：瞬时变化率的诞生

6.2 导数：瞬时变化率的诞生

导数度量函数在某点的瞬时变化率，定义为差商当增量趋零时的极限。本节从"车速表怎么读"出发，用定义手推幂函数与正弦的导数，练熟四则与链式法则，SymPy 的 diff 全程陪跑。它是"抛物线之谜"的前半程：切线斜率先被攻克。

车速表的合法性问题

开车时车速表显示"此刻 60 千米每小时"——这句话细究有点怪：速度 = 路程 ÷ 时间，"此刻"时长为零，0 除以 0 没有意义。解决办法是先算平均、再逼近：取从 t 到 t + Δt 这一小段的平均速度 Δs/Δt，让 Δt 越来越小，平均速度稳稳趋向一个值——这个值定义为瞬时速度。导数就是这一招的通用化：

f'(x) = 当 Δx 趋于 0 时，(f(x+Δx) − f(x)) ÷ Δx 的极限

几何对应：差商是割线（两定点的连线）的斜率，Δx 趋零时第二个点滑向第一个点，割线转身变成切线，导数就是切线斜率。

用定义手推三个导数

平方函数：f(x) = x 平方。差商 = ((x+Δx) 平方 − x 平方)/Δx = (2xΔx + Δx 平方)/Δx = 2x + Δx。Δx 趋零，极限 = 2x。抛物线在 x = 1 处切线斜率 2、在 x = 3 处斜率 6——越往右越陡，与图像吻合。

常数与一次函数：常数差商恒为 0，导数 0；f(x) = 3x 差商恒为 3，导数 3。

正弦函数：f(x) = sin x。差商 = (sin(x+Δx) − sin x)/Δx，用 4.4 的和角公式展开 = (sin x cos Δx − sin x + cos x sin Δx)/Δx = sin x (cos Δx − 1)/Δx + cos x (sin Δx/Δx)。两个小量极限：sin Δx/Δx → 1（6.1 的重要极限）、(cos Δx − 1)/Δx → 0。结果：(sin x)' = cos x。三角恒等式与重要极限在导数表里会师。

>>> from sympy import symbols, diff, limit, sin, cos
>>> x, h = symbols('x h', real=True)
>>> f = x**2
>>> limit((f.subs(x, x+h) - f)/h, h, 0)     # 用定义直接算
2*x
>>> diff(sin(x), x)
cos(x)
>>> diff(x**2, x)
2*x
​

定义算出的极限与求导函数输出一致——手推与机器第二次握手。

求导法则工具箱

四则与复合把基本导数表装配成万能机器（u、v 是 x 的函数）：

• 和差：(u ± v)' = u' ± v'；
• 乘积：(uv)' = u'v + uv'；
• 商：(u/v)' = (u'v − uv') ÷ v 平方；
• 链式法则：y = f(g(x)) 的导数 = f'(g) × g'(x)——外层导数乘内层导数。

手算 f(x) = x 平方 sin x：乘积法则 = 2x sin x + x 平方 cos x。手算 g(x) = sin(x 平方)：链式 = cos(x 平方) × 2x。手算 h(x) = (3x + 1) 的五次方：链式 = 5(3x+1) 四次方 × 3 = 15(3x+1) 四次方。

>>> from sympy import diff, sin, cos, symbols, expand
>>> x = symbols('x')
>>> expand(diff(x**2*sin(x), x))
x**2*cos(x) + 2*x*sin(x)
>>> diff(sin(x**2), x)
2*x*cos(x**2)
>>> diff((3*x + 1)**5, x)
15*(3*x + 1)**4
​

三条全部与手算一致。

可导与连续：单向门

可导必连续（切线存在要求函数不跳）；连续不必可导——f(x) = |x| 在 0 处连续，但左割线斜率 -1、右割线斜率 +1，切线转不过这个尖角。有尖角的地方没有导数，这是连续与可导的分界案例。

物理对应表收尾：位移对时间求导是速度、速度再求导是加速度；反过来，第六章末将看到积分沿反方向走。导数表存几条常用的：x 的 n 次方求导得 n 倍 x 的 n−1 次方；e 的 x 次方求导不变；ln x 求导得 1/x。

💡 关键直觉：导数是"局部放大镜"——把曲线放大到足够大，任何光滑小段看起来都像直线，斜率就是导数。微分方程、机器学习的梯度下降，全在这块放大镜下工作。

高阶导数：反复求导的接力

导数本身也是函数，可以再求导：x 三次方的二阶导 = 6x、三阶导 = 6、四阶导 = 0。物理对应直观：位移的一阶导是速度、二阶导是加速度、三阶导是"加加速度"（过山车设计里乘客不适感的来源）。几何上二阶导管凹凸，是下一节函数体检的主器械。多项式的 n+1 阶导必为零——泰勒展开的干脆入口。

>>> from sympy import symbols, diff
>>> x = symbols('x')
>>> [diff(x**3, x, k) for k in (1, 2, 3, 4)]
[3*x**2, 6*x, 6, 0]
​

四连导数一路衰减到 0，多项式的"求导天花板"一目了然。

常见问题

问：链式法则为什么是相乘？
答：变化率的传递——内层每变 1 单位引起中间量变 g' 单位，中间量每单位再引起外层变 f' 单位，相乘即总效应。复合放大率 = 各级放大率之积。

问：可导但导函数不连续可能吗？
答：可能，存在导数在某点振荡的构造。本册不深究，但要知道"可导"不保证"导函数连续"。

微分的记号与近似

莱布尼茨把导数写成 dy/dx，这个分数模样的记号不只是符号：它提示"y 的微小变化除以 x 的微小变化"。当 Δx 很小时，Δy ≈ f'(x)Δx——线性近似，工程里"在某点附近函数近似直线"的全部依据。估算根号 63：取 f(x) = 根号 x 在 64 处，f'(64) = 1/16，根号 63 ≈ 8 − 1/16 ≈ 7.9375（真值 7.9373，误差万分之三）。一条切线、一次乘法，就把开方算到四位有效数字。

本节要点回顾

• 导数 = 差商的极限；0/0 的尴尬被"先平均后逼近"化解，车速表从此合法；
• 平方函数导数 2x 由定义直推；正弦导数 cos 由和角公式 + 重要极限联合推出；
• 四则法则中乘积法则 u'v + uv' 最易错；链式法则处理复合，逐层求导相乘；
• 可导 ⇒ 连续，反之不成立，|x| 的尖角是标准反例；
• 导数即切线斜率，为 6.3 的函数形态分析与 6.4 的积分互逆埋好接口。

变化率会算了，下一节让它干活：找极值、判增减、做优化。