6.4 定积分：曲边面积的极限与牛顿—莱布尼茨公式
6.4 定积分：曲边面积的极限与牛顿—莱布尼茨公式
定积分是曲边图形面积的精确定义：分割、近似、求和、取极限。本节手垫矩形估算抛物线下的面积，看它收敛到三分之一；然后以牛顿—莱布尼茨公式把面积问题变成"导数的反运算"，全册主线在此合龙。
阿基米德的老问题
曲线 y = x 平方，从 x = 0 到 x = 1，与横轴围出一块曲边区域。矩形、三角形、梯形的面积公式全用不上——唯一的抓手是用直代曲：切成竖条，每条顶端用水平线近似，垫成矩形，再把矩形面积加起来。分割越细，台阶越贴近曲线。
手垫四层矩形
把 0 到 1 四等分，每段宽 0.25。左端点近似（每条矩形高度取左端的函数值）：高分别为 0、0.0625、0.25、0.5625，面积和 = 0.25 × (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) = 0.25 × 0.875 = 0.21875（低估——矩形整个垫在曲线下方）。右端点近似：高 0.0625、0.25、0.5625、1，和 = 0.25 × 1.875 = 0.46875（高估）。真值被夹在两者之间：0.219 与 0.469 之间，区间还太宽。
加密到十份：左和 = 0.1 × (0 + 0.01 + 0.04 + …… + 0.81) = 0.1 × 2.85 = 0.285；右和 = 0.1 × 3.85 = 0.385。夹得更紧了。一百份：左和 ≈ 0.32835、右和 ≈ 0.33835——两边向 1/3 汇合。
>>> from fractions import Fraction >>> def rectangle_sum(n, side): ... w = Fraction(1, n) ... total = Fraction(0) ... for k in range(n): ... x = Fraction(k, n) if side == 'L' else Fraction(k+1, n) ... total += x*x*w ... return total >>> rectangle_sum(4, 'L'), rectangle_sum(4, 'R') (7/32, 15/32) >>> rectangle_sum(10, 'L'), rectangle_sum(10, 'R') (57/200, 77/200) >>> rectangle_sum(100, 'L') 10467/31875 >>> float(rectangle_sum(100, 'L')) 0.3283457142857143
7/32 = 0.21875、15/32 = 0.46875，与手算一致；百份时精确分数 10467/31875 ≈ 0.3283。分割无限加密时，和的极限就是定积分的定义本身：
∫ 从 0 到 1 的 x 平方 dx = 1/3
>>> from sympy import integrate, symbols >>> x = symbols('x') >>> integrate(x**2, (x, 0, 1)) 1/3 >>> integrate(x**2, (x, 0, 3)) # 区间换成 0 到 3 9 >>> integrate(sin(x), (x, 0, pi)) # 正弦一拱的面积 2
三个精确值：1/3、9、2。第三个特别漂亮——正弦曲线一拱（0 到 π）的面积恰好是 2，第四章与第六章在这里握手。
牛顿—莱布尼茨公式：面积与导数的世纪和解
每次都垫一百万个矩形显然不现实。公式指出：若能找到 F 使 F' = f，则
f 从 a 到 b 的定积分 = F(b) − F(a)
对 x 平方：F(x) = x 三次方 ÷ 3（它的导数恰为 x 平方）。于是面积 = F(1) − F(0) = 1/3 − 0 = 1/3——一减了事，百万矩形退休。
它为什么成立？把"变动上限的面积"看成一个函数 A(t)（从 0 积到 t）。t 增加一小段 Δt 时，面积多出约 f(t)Δt（一条细矩形），所以 A 的变化率就是 f(t)——面积的导数是高度。既然 A' = f = F'，A 与 F 只差一个常数，代两端值相减即得公式。微分与积分互逆的几何根源，就藏在这一条细矩形里。
手算第二例复核：∫ 从 0 到 3 的 x 平方 = 27/3 − 0 = 9 ✓（与 SymPy 一致）。
>>> from sympy import diff, Rational >>> F = x**3/Rational(3) >>> diff(F, x) # 验证 F 的导数是 x平方 x**2 >>> F.subs(x, 1) - F.subs(x, 0) # 牛顿—莱布尼茨公式手算 1/3
矩形逼近收敛到 1/3 的过程
概率的回访：面积即概率
第五章留的接口在此兑现。标准正态曲线是对称的钟形，落在 0 到某个区间的概率就是曲线下相应的面积——连续分布的概率全部由积分计算。虽然正态的原函数不是初等函数（历史上由此诞生了数值积分与概率表），但"概率 = 面积 = 积分"这个等式，把两章焊成一体。几何概率的简单版本可以直接手算：在 0 到 1 上均匀取点，落在 0 到 0.3 的概率 = 区间长度比 = 0.3，也等于常数函数 1 在相应区间下的面积。
全册合龙
六大板块至此闭合成环：数系（第一章）提供对象，代数（第二章）提供语法，几何（第三章）提供舞台，三角（第四章）提供周期主角，概率（第五章）把离散推向连续，微积分（第六章）用极限统一了变化与累积。手算给出直觉与纪律，程序给出复核与勇气——这套"双轨"习惯，比任何一块具体知识都更值得带走。
💡 关键直觉：积分不是"求面积的技巧"，而是"把无穷多份微小贡献加总"的思维方式。路程、总量、功、概率、期望，全是它的化身。
不定积分与原函数族
"找 F 使 F' = f"的动作叫不定积分。原函数不唯一：x 平方的原函数有 x 三次方÷3、x 三次方÷3 + 1、x 三次方÷3 − 7……只差一个常数（导数把常数抹平），统一写 x 三次方÷3 + C。定积分计算时常数 C 在 F(b) − F(a) 相减中自动抵消——公式"不怕原函数不唯一"的原因。基本积分表是导数表倒着背：幂函数升幂除新次数、sin 的积分是负 cos、1/x 的积分是 ln|x|。
>>> from sympy import integrate, symbols, diff >>> x = symbols('x') >>> integrate(x**2, x) x**3/3 >>> diff(x**3/3 + 5, x) # 加常数的原函数导数不变 x**2
常见问题
问：什么样的函数不可积？
答：连续函数一定可积，有限个间断点也行。处处间断的狄利克雷函数（有理处取 1、无理处取 0）黎曼不可积——积分理论边界的守门员。
本节要点回顾
- 定积分定义四部曲：分割、近似、求和、取极限；左和升、右和降，夹出真值；
- 抛物线下面积：n = 4 时夹在 0.219 与 0.469，n = 100 时贴向 1/3；
- 牛顿—莱布尼茨公式：找 F 使 F' = f，积分 = F(b) − F(a)；几何根源是面积的导数等于高度；
- 正弦一拱面积恰为 2；正态概率 = 曲线下面积，第五章与第六章于此合龙；
- 微分与积分互为逆运算——全册主线在最末一节完成闭环。