6.3 导数的应用：增减、极值与最优化

6.3 导数的应用：增减、极值与最优化

一阶导数的符号定增减，二阶导数的符号定凹凸，两者联手完成函数的完整"体检"。本节用一套三步流程分析曲线形态，再用一个篱笆围院案例展示导数的工程变现。这是"抛物线之谜"的中场：切线斜率开始指挥全局。

曲线的红绿灯

导数在一点的符号是曲线的红绿灯：f'(x) 大于 0 函数上升、小于 0 下降、等于 0 踩了刹车（驻点候选）。二阶导数是斜率的变化率：f''(x) 大于 0 曲线呈碗形（凹，切线在曲线下方），小于 0 呈倒扣碗形（凸）。凹凸切换处叫拐点。

完整体检流程（以 f(x) = x 三次方 − 3x 为例，第二章 2.3 描点时埋过的曲线）：

第一步：f'(x) = 3x 平方 − 3 = 3(x+1)(x−1)，零点 x = ±1。
第二步：符号分析——x 小于 -1 时两因式同负，f' 为正（上升）；-1 到 1 之间一正一负，f' 为负（下降）；大于 1 又为正（上升）。所以 x = -1 是极大值点（升转降），f(-1) = -1 + 3 = 2；x = 1 是极小值点（降转升），f(1) = 1 - 3 = -2。2.3 的描点表（-1 处 2、1 处 -2）在这里得到了解释。
第三步：f''(x) = 6x，x 小于 0 凸、大于 0 凹，原点是拐点，曲线在那里完成从倒扣碗到正碗的翻转。

>>> from sympy import symbols, diff, solve
>>> x = symbols('x')
>>> f = x**3 - 3*x
>>> f1, f2 = diff(f, x), diff(f, x, 2)
>>> solve(f1, x)
[-1, 1]
>>> [f.subs(x, v) for v in (-1, 1)]
[2, -2]
>>> solve(f2, x)
[0]
​

三个驻点、拐点全部由机器确认，与三步手算一致。

极值判别有两条路互相印证：一阶变号（升转降为极大、降转升为极小），或二阶符号（驻点处 f'' 小于 0 为极大、大于 0 为极小）。x = -1 处 f'' = -6 小于 0，极大；x = 1 处 f'' = 6 大于 0，极小——两条路同判一案。

优化实战：围出最大的院子

农家有 60 米篱笆，贴着一面现成的长墙围一个矩形院子，怎样面积最大？

设垂直于墙的边长 x，则平行于墙的边 = 60 − 2x，面积 A(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x 平方。约束：x 大于 0 且 60 − 2x 大于 0，即 0 小于 x 小于 30。

求导：A'(x) = 60 − 4x，零点 x = 15。二阶 A'' = −4 恒小于 0，开口向下，是最大值点。此时另一边 = 60 − 30 = 30，最大面积 = 15 × 30 = 450 平方米。

边界对照验证：x 趋于 0 或 30 时面积趋于 0——驻点 15 确实是峰值而非谷底。直觉旁证：资源固定时，最优结构往往"均匀"（30 米的墙被两段各 15 米的篱笆对称使用）。

>>> from sympy import symbols, diff, solve
>>> x = symbols('x', positive=True)
>>> A = x*(60 - 2*x)
>>> cand = solve(diff(A, x), x)
>>> cand, [A.subs(x, c) for c in cand]
([15], [450])
​

一行解出 x = 15、面积 450。

变式追问：若不靠墙、四边全围（周长仍 60），最大面积是边长 15 的正方形，面积 225 平方米——白得一面墙让面积翻倍，"约束结构决定最优解"的直观一课。再追问：若围三边等长的"门"字形（两段垂直边各 x、一段水平边 x），周长 3x = 60，x = 20，面积 400——仍不如靠墙方案。可见先写清约束再优化，约束一变答案整个变。

变化率的间接测量：隔空测数

导数还能测量够不着的东西。气球体积 V = (4/3)πr 三次方（3.3 的球体公式）。充气速率恒定 100 立方厘米每秒（这是 dV/dt），当 r = 5 时半径涨多快（求 dr/dt）？

对时间求导，链式法则串起中间量：dV/dt = 4πr 平方 × dr/dt。代 r = 5：100 = 100π × dr/dt，解得 dr/dt = 1/π ≈ 0.318 厘米每秒。半径越大涨得越慢——同样的气摊到更大的球面上，直观与计算一致。

>>> from sympy import symbols, pi, Rational, diff
>>> r = symbols('r', positive=True)
>>> V = Rational(4,3)*pi*r**3
>>> dVdr = diff(V, r)              # dV/dr = 4πr平方
>>> drdt = 100 / dVdr.subs(r, 5)   # dr/dt = (dV/dt) ÷ (dV/dr)
>>> drdt
1/pi
>>> float(drdt)
0.3183098861837907
​

1/π ≈ 0.318。相关变化率问题的第一大坑就是变量身份混乱：已知的是 dV/dt，要求的是 dr/dt，中间必须经 dV/dr 这座桥（链式法则）——先把"哪个量对哪个量"写清楚，再动笔。

⚠️ 常见坑：驻点不一定是极值点。f(x) = x 三次方在 0 处导数为零，但函数一路上升，只是瞬时踩了下刹车。闭区间上的最值还要与端点值比较——极值是"局部冠军"，最值是"全场冠军"。

三种形态信号的读法

极值思想在算法里的回声

机器学习训练模型的过程，本质就是本章篱笆问题的超大规模重演：把"误差"当作目标函数，用导数（梯度）判断下山方向，一小步一小步走到谷底——梯度下降法。篱笆案例只有六十米一维变量，模型动辄百万参数，但骨架完全一致：建目标函数、求导、沿负导数方向挪一小步、重复。初等优化与人工智能共享同一条脊椎，这是本节内容在六十年后长出的参天后代。

本节要点回顾

• 一阶符号定增减、二阶符号定凹凸，驻点 + 变号（或二阶符号）判极值；
• x 三次方 − 3x 体检：极大值 2 在 -1、极小值 -2 在 1、拐点在 0；
• 优化三步：建目标函数 → 求驻点 → 二阶或边界验证；篱笆案例最优 450 平方米，靠墙与否答案迥异；
• 相关变化率靠链式法则串联，先分清"对谁求导"，气球案例得 1/π；
• 驻点 ≠ 极值（x 三次方原点反例），局部极值 ≠ 区间最值。

形态分析齐备，最后一节回到阿基米德的老问题：抛物线下的面积，用积分一锤定音。