1.2 力系平衡、桁架与摩擦

1.2 力系平衡、桁架与摩擦

平衡条件：平面力系作用下物体平衡的充要条件是主矢与主矩同时为零，即所有力的水平、竖向投影和为零，且对任意一点的力矩和为零。本节用这一条件求解支座反力与桁架内力，并处理带摩擦的平衡区间问题。

上一节画好了自由体图，这一节列方程结案。它在知识体系里是静力学的"运算核心"：第 5 章画内力图前要先算支座反力，第 4 章的轴力也来自这里的截面平衡，摩擦判据则直接通往机械设计里的自锁计算。

平衡方程的三种写法

平面任意力系的平衡方程不止一种形式，任何一种都等价于"主矢为零 + 主矩为零"：

选哪个形式纯粹是算术方便：矩心取在多个未知力的交点上，那些未知力就不出现在力矩方程里。独立方程数对单个刚体恒为 3；未知力超过 3 就超静定，需要第 5 章之后的变形协调条件补充。

一个完整算例：外伸梁受集中力与均布载荷，求反力并校核。

import numpy as np

# 外伸梁：A 处固定铰(x=0)，B 处滚动(x=5)；AB 段均布 q=8 kN/m，
# 外伸端 C(x=7) 有集中力 P=15 kN，向下。
q, P = 8.0, 15.0
xA, xB, xC = 0.0, 5.0, 7.0
# 未知：Ax, Ay, By。平衡：sum Fx=0, sum Fy=0, sum M_A=0
# sum Fx: Ax = 0（无水平载荷）
# sum M_A: By*5 - q*5*2.5 - P*7 = 0
By = (q * 5 * 2.5 + P * xC) / (xB - xA)
# sum Fy: Ay + By - q*5 - P = 0
Ay = q * 5 + P - By
print(f"Ax = 0 kN, Ay = {Ay:.2f} kN, By = {By:.2f} kN")

# 用矩阵形式再解一遍，体会标准流程
A = np.array([
    [1.0, 0.0, 0.0],        # sum Fx
    [0.0, 1.0, 1.0],        # sum Fy
    [0.0, 0.0, xB - xA],    # sum M_A（Ay、Ax 过矩心无力臂）
])
b = np.array([0.0, q * 5 + P, q * 5 * 2.5 + P * xC])
sol = np.linalg.solve(A, b)
print(f"矩阵解：Ax={sol[0]:.2f}, Ay={sol[1]:.2f}, By={sol[2]:.2f}")

# 校核：对 C 取矩应等于零
check = Ay * xC - By * (xC - xB) - q * 5 * (xC - 2.5)
print(f"对 C 点力矩校核 = {check:.4f} kN·m（应接近 0）")
​

运行得到 Ay = -1 kN、By = 56 kN：A 处反力为负，说明实际方向向下——外伸段把 A 端"撬"起来了。负号不是错误，是方向信息，这类解读能力比会解方程更重要。

桁架：载荷路径最透明的结构

桁架由二力杆铰接而成，载荷只作用于节点，杆件只受轴向拉压。载荷路径清清楚楚：外力进节点，沿杆件轴向分段传递，最后汇入支座。求内力两条路：

• 节点法：逐个节点列平面汇交力系平衡（每节点 2 个方程），适合求全部杆力；
• 截面法：假想切断三根杆，取一侧为隔离体列 3 个方程，适合只问某几根杆。

import numpy as np

# 简单桁架：5 个节点，7 根杆。跨度 2L，高 h，节点载荷 P 在顶点
L, h, P = 2.0, 1.5, 20.0  # 单位 m, kN
# 节点坐标: A(0,0) B(2,0) C(4,0) D(1,h) E(3,h)，载荷 P 作用于 D
# 支座：A 固定铰，C 滚动（竖向）
Ay = By = P / 2  # 对称，竖向反力各半
# 节点法从 A 开始：杆 AD 与 AB 的内力（设拉为正）
# A: 水平 F_AB + F_AD*cos(a) = 0；竖向 Ay + F_AD*sin(a) = 0
ang = np.arctan2(h, L)
F_AD = -Ay / np.sin(ang)
F_AB = -F_AD * np.cos(ang)
print(f"杆 AD 内力 {F_AD:.2f} kN（负=压），杆 AB 内力 {F_AB:.2f} kN（正=拉）")
# 节点 D：对称性，DE 水平杆内力为 0（无载对称杆）
print("节点 D 对称无水平外载，水平杆 DE 内力为 0 kN——零杆")
# 截面法复核：切 AB、AD、DE，取左侧，对 D 取矩可解 F_AB
# sum M_D = F_AB * h - Ay * L = 0
F_AB2 = Ay * L / h
print(f"截面法复核 F_AB = {F_AB2:.2f} kN，与节点法一致")
​

注意那个零杆：对称位置无载荷的水平杆内力为零。零杆不是废杆，它服务的是其他工况与稳定长细比（第 5 章压杆稳定会回来解释为什么受压杆尤其怕细长）。

摩擦：不定的区间解

摩擦问题的特别之处在于静摩擦力是个区间，不是定值。库仑摩擦定律给出上限：最大静摩擦等于法向反力乘摩擦系数。平衡成立的条件是所需摩擦力不超过这个上限；主动力落在摩擦角以内时，无论多大都滑不动，这叫自锁。

完整案例：斜面上一个重块，判断它在哪个倾角开始滑动。

import numpy as np

# 重块 W=500 N 放在斜面上，静摩擦系数 mu=0.35，倾角 theta 从 10 到 30 度扫描
W, mu = 500.0, 0.35
print(f"{'倾角':>6} {'需要摩擦力':>10} {'最大静摩擦':>10} {'状态':>6}")
for deg in range(10, 31, 5):
    th = np.radians(deg)
    # 沿斜面平衡：f = W*sin(theta)；法向 N = W*cos(theta)
    f_need = W * np.sin(th)
    f_max = mu * W * np.cos(th)
    state = "静止" if f_need <= f_max else "滑动"
    print(f"{deg:5d}° {f_need:10.1f} {f_max:10.1f} {state:>6}")
# 自锁条件：tan(theta) <= mu
print(f"\n自锁临界角 = {np.degrees(np.arctan(mu)):.2f}°（摩擦角）")
​

扫描结果在 10° 到 15° 静止、20° 起滑动，临界角 19.29° 即摩擦角。螺纹自锁（千斤顶不下滑）用的就是同一条判据：螺纹升角小于摩擦角。

💡 关键直觉：无摩擦的平衡方程给出唯一解，含摩擦的平衡给出一个可行区间。题目问"摩擦力是多少"时若没给运动趋势，答案是一段范围，硬给单值反而暴露概念不清。

本节要点回顾

• 一矩式、二矩式、三矩式互相等价，选矩心落在未知力交点上的形式最省事。
• 负反力是方向信息：解出负值说明实际方向与假设相反，不是算错。
• 节点法求全体、截面法问局部：两者常常交叉复核，工程审图也这么做。
• 零杆要认得：无载对称杆内力为零，但保留它是构造需要。
• 摩擦解是区间：上限是摩擦系数乘法向力，自锁条件是主动力落在摩擦角内。
• 静定与超静定：未知数超过独立方程数时静力学失效，必须借助变形条件，这是第 5 章的入口。

静力学到此闭环。下一章放开"静止"假设，先不管力，纯看物体怎么动。