2.1 点的运动与刚体基本运动

2.1 点的运动与刚体基本运动

运动学研究物体运动的几何性质（轨迹、速度、加速度）而不问原因。本节建立两套描述体系：点的运动（直角坐标与自然坐标）与刚体的两种基本运动（平动、定轴转动），并给出角量与线量的换算关系，这是后续一切机构分析的语言基础。

本章支柱页说过，运动学是"只描述、不解释"的分支。这一节先把词汇表建全；下一节用这些词汇去拆平面运动与复合运动。往更远处看，第 3 章的动力学方程、第 6 章的振动微分方程，左端全是本节定义的加速度。

一、位移、速度、加速度：导数三连

点的位置用位矢 r(t) 描述，速度是它对时间的一阶导数，加速度是二阶导数。三条纪律：速度方向沿轨迹切线；加速度一般不沿切线（它包含改变快慢和改变方向两份贡献）；速率是速度的模，不等于"加速度的模乘时间"这类想当然的量。

工程上两种坐标系并存：

• 直角坐标：适合轨迹未知或计算仿真，x、y 分量各自求导，互不干扰；
• 自然坐标（弧坐标）：沿轨迹建立切向 τ 与法向 n，加速度分解为切向（改变速率）与法向（改变方向），法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径。

匀速圆周运动最能说明这个分解的价值：切向加速度为零，但法向加速度不为零——方向在变，就是加速。高速铁路弯道要设外轨超高、公路弯道限速，都是在控制法向加速度不超过舒适阈值。

完整算例：抛体运动数值解，顺带对比解析解验证精度。

import numpy as np

# 抛体：初速 40 m/s，仰角 55 度，g=9.81，忽略空气阻力
v0, deg, g = 40.0, 55.0, 9.81
th = np.radians(deg)
# 解析解
T = 2 * v0 * np.sin(th) / g          # 飞行时间
H = (v0 * np.sin(th))**2 / (2 * g)    # 最高点
R = v0**2 * np.sin(2 * th) / g        # 射程
print(f"解析解：飞行 {T:.2f} s，最高 {H:.2f} m，射程 {R:.2f} m")

# 数值解：有限差分，时间步 0.001 s
dt = 0.001
t = np.arange(0, 2 * T + dt, dt)
x = np.zeros_like(t); y = np.zeros_like(t)
vx = v0 * np.cos(th) * np.ones_like(t)
vy = v0 * np.sin(th) - g * t
x = v0 * np.cos(th) * t
y = v0 * np.sin(th) * t - 0.5 * g * t**2
land = np.where(y < 0)[0][0]
print(f"数值解：落点 x = {x[land-1]:.2f} m，与解析射程误差 {abs(x[land-1]-R):.4f} m")
# 落点处的合速度
v_land = np.hypot(vx[land-1], vy[land-1])
print(f"落地合速度 {v_land:.2f} m/s（与初速大小相同，能量守恒的预演）")
​

数值与解析落点误差在毫米级，且落地速率等于初速——第 3 章能量原理在这里已经悄悄显形。改小 dt 或加入空气阻力项重跑，就能体会数值方法的伸缩性，这是解析解给不了的。

二、刚体平动与定轴转动

刚体平动时各点轨迹相同，任意时刻各点速度、加速度一致，可以用一个点代表整个刚体——这正是"质点模型"的合法性来源。定轴转动则用角量描述：转角 φ(t)、角速度 ω（弧度每秒）、角加速度 α，全刚体共享同一组角量，各点线量按半径换算：

线速度 v = ω·r，切向加速度 a = α·r，法向加速度 = ω²·r。

电机选型是最直接的应用：额定转速 1450 r/min 的电机通过减速器带动滚筒，需要把"转每分"换算成"弧度每秒"，再算滚筒表面线速度。

import numpy as np

# 电机 1450 r/min，二级减速 i=25，滚筒半径 0.4 m
n_motor, i, r = 1450.0, 25.0, 0.4
omega_motor = n_motor * 2 * np.pi / 60   # rad/s
omega_drum = omega_motor / i
v_surface = omega_drum * r
a_n = omega_drum**2 * r                  # 法向加速度（表面点）
print(f"电机角速度 {omega_motor:.2f} rad/s")
print(f"滚筒角速度 {omega_drum:.3f} rad/s，约 {omega_drum*60/2/np.pi:.1f} r/min")
print(f"表面线速度 {v_surface:.3f} m/s，向心加速度 {a_n:.3f} m/s²")
# 启动过程：从静止匀加速 2 秒到稳定转速，求角加速度与表面切向加速度
t_start = 2.0
alpha = omega_drum / t_start
print(f"启动角加速度 {alpha:.3f} rad/s²，表面切向加速度 {alpha*r:.3f} m/s²")
​

注意换算链里最常出错的单位：转速乘 2π 除 60。工程事故报告里"角速度忘了除 60、强度校核差六十倍"这类低级错误并不罕见。

三、法向加速度的工程分量

匀速转动里藏着工程里极其重要的一类载荷：离心载荷。法向加速度与角速度平方成正比，转速翻倍、离心加速度翻四倍——这是第 6 章共振与转子动力学问题的伏笔。

图 点的运动的两种坐标系与刚体转动线量

本节要点回顾

• 速度沿切线，加速度未必：改变快慢的切向分量与改变方向的法向分量是两件事，匀速圆周运动的加速度全部来自后者。
• 自然坐标的卖点：曲率显式出现，法向加速度等于速率平方除以曲率半径。
• 平动退化成点：各点运动相同，一个点代表整个刚体。
• 定轴转动看角量：全刚体共享角速度与角加速度，线量按半径放大。
• 单位换算是高频事故点：转每分到弧度每秒必须乘 2π 除 60。
• 转速平方效应：角速度翻倍法向加速度翻四倍，旋转机械对转速极其敏感。

下一节把平动与转动叠加，处理工程机构里最常见的平面运动。

四、运动描述的量纲自查

运动学计算里单位错误的比例高得惊人，值得专门立一条自查流程：角度用弧度（三角函数与微分公式都只在弧度制下成立）、转速换角速度乘 2π 除 60、线速度等于角速度乘半径（半径以米计）。算完后做一次量纲快查——速度单位是米每秒、加速度是米每秒平方、角加速度是弧度每秒平方，任何一项对不上，先查单位再查公式。

import numpy as np

# 自查演示：常见错误组合的后果
r, n = 0.3, 1500.0
wrong = n * 2 * np.pi           # 忘除 60
right = n * 2 * np.pi / 60
print(f"正确角速度 {right:.1f} rad/s，忘除 60 得 {wrong:.1f} rad/s")
print(f"由此算出的表面速度将虚高 60 倍：{wrong*r:.0f} m/s vs 实际 {right*r:.1f} m/s")
​

六十倍的误差在审图时未必一眼可见（数量级"看起来还合理"），但代入功率与强度计算后必然荒腔走板。把单位换算写进代码注释并保留中间量，是数值化运动学分析的又一道保险。