title: 15. 同态和同构
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WTF zk 教程第 15 讲：同态和同构

之前我们一直在关注群的内部关系：群、子群、陪集、商群。这一讲，我们将研究两个群之间的关系，并引入群同态和群同构的概念。

1. 群同态

群同态的字面意思就是两个群形态相似。对于两个群 (G, ) 和 (H, )，如果函数 f : G \to H 对于 a,b \in G 满足：

，我们就称存在一个 G 到 H 的群同态 f。

为了简单，我们会直接叫它“同态”，而不是“群同态”。

上面的等式左边的意思是：先在群 G 中做 a 和 b 的运算，再将结果用 f 映射到群 H。等式右边的意思是：先将群 G 的元素 a 和 b 映射到群 H 后，再对 H 中的像做运算。在群同态中，两种方式殊途同归。因此，同态让两个群之间建立了一种连接，同时保持了群的基本运算结构不变。

举个例子，设 G = \set{R, +} 为实数加法群， H = \set{R_{+}, \times} 为正实数乘法群。那么幂函数 f(x) = e^x 为 G 到 H 的同态，因为对于 a, b \in R，有 f(a+b) = e^{a+b} = e^ae^b=f(a)f(b)，满足同态的定义。

再举个例子，设 G = \set{\mathbb{Z}, +} 为整数加法群， H = \set{\mathbb{Z}^*_n, +} 为整数模 n 加法群，定义函数 f(x) \equiv x \pmod{n} 为 G 到 H 的同态，因为 对于 a, b \in \mathbb{Z}，有 f(a+b) = a+b \pmod{n} = a \pmod{n} + b \pmod{n} =f(a) + f(b)，满足同态的定义。

1.1 性质

群同态有一些非常好的性质，如果 f : (G, ) \to (H, ) 是群同态，那么：

1. 单位元的保持： f(e_G) = e_H，其中 e_G 和 e_H 分别是群 G 和 H 的单位元。

2. 逆元的保持： f(a ^{-1}) = f(a)^{-1}。

3. 子群的保持： 若 X 是 G 的子群，那么 f(X) 是 H 的子群，其中 f(X) = \set{f(x) \mid x \in X}。

4. 子群的保持的逆定理： 若 f(X) 是 H 的子群，那么 X 是 G 的子群。

总结一下，如果两个群存在同态，那么它们的单位元，逆元，和子群的结构都通过同态保持。从群论的角度，这两个群是相似的。

1.2 例子

我们举个指数函数（以 e 为底）的例子，帮助大家了解同态的性质：

• 单位元保持：在 G = \set{R, +} 中，0 为单位元，那么 f(0) = e^0 = 1 就是 H = \set{R_{+}, \times} 的单位元。
• 逆元保持：在 G 中， -1 和 1 互为逆元，那么 f(-1) = 1/e 和 f(1) = e 在 H 中互为逆元。
• 子群保持及逆向子群保持：整数加法群 (\mathbb{Z}, +) 是 G 的子群，那么 f(Z) = \set{,..., e^{-2}, e^{-1}, 1, e, e^{2}, ...} 是 H 的子群。反之亦然

2 像与核

群同态确定了两个重要的子群：像和核，接下来我们会学习它们。不过让我们先复习一下函数的像和原像：

• 映射的像 f(A) 是映射作用到定义域 A 上得到的值的集合，表示为 \set{ f(a) \mid a \in A }。
• 映射的原像 f^{-1}(y) 是映射的逆操作，表示在给定值域中某个元素的所有可能的前像，即 \set{ x \in A \mid f(x) = y }。

映射的像描述了输出范围，原像描述了在给定输出下映射的所有可能输入。

2.1 同态像

对于群同态 : G \to H，其同态像是指映射 f 对于群 G 的所有元素的像所构成的集合。同态像通常用符号 \text{Im}(f) 表示：

具体而言，同态像是由所有形如 f(a) 的元素所构成的集合，其中 a 是群 G 中的元素。

2.2 同态核

同态核是群同态中的另一个重要概念，它指的是群 H 的单位元在群 G 中的原像，换句话说，同态核是群 G 的子集，其中元素被映射到 H 后构成单位元。同态核通常用符号 \text{Ker}(f) 表示，有：

由于 \set{e_H} 是群 H 的平凡子群，根据同态的性质 4，可知同态核是群 G 的一个子群，它反映了群同态中映射到单位元的部分。

2.3 性质

1. 同态像 \text{Im}(f) 是群 H 的子群。

2. 同态核 \text{Ker}(f) 是群 G 的子群。

3. 同态核是正规子群： 同态核 \text{Ker}(f) 是群 G 的正规子群。

总结一下，同态的核和像有很好的性质，分别是 G 和 H 的子群。特别的，同态核是 G 的正规子群，根据我们上一讲学习的内容，我们可以通过同态核构造商群，将群 G 的元素分配到等价类中，进一步刻画 G 和 H 的关系。这也引出将介绍的第一同构定理。

3. 群同态的分类

根据同态映射 f 属于单射，满射或双射，我们可以将同态分为单同态，满同态，和同构。首先，让我们复习一下单射，满射，和双射是什么。

在数学中，单射、满射和双射是映射（函数）之间的性质描述。

1. 单射（Injective）：
   一个映射 f: A \rightarrow B 被称为单射，如果对于集合 A 中的不同元素 a_1 和 a_2，都有 f(a_1) \neq f(a_2)。换句话说，不同的元素映射到不同的值。

2. 满射（Surjective）：
   一个映射 f: A \rightarrow B 被称为满射，如果对于集合 B 中的每一个元素 b，都存在集合 A 中的至少一个元素 a，使得 f(a) = b。换句话说，映射的值域等于目标集合。

3. 双射（Bijective）：
   一个映射 f: A \rightarrow B 被称为双射，如果它既是单射又是满射。换句话说，每个元素都有唯一的映射，且每个元素都被映射到。

下面，我们学习一下如何判断同态的类型。

1. 单同态（即映射 f 为单射）的充要条件：同态核仅包含群 G 的单位元 e_G， 即同态核 \text{Ker}(f)=\set{e_G}。

2. 满同态（即映射 f 为满射）的充要条件：同态像 \text{Im}(f) 等于群 H 本身， 即 \text{Im}(f) = H。

3. 群同构（即映射 f 为双射）的充要条件：同态核仅包含群 G 的单位元 e_G，且同态像 \text{Im}(f) 等于群 H 本身，记为 G \cong H

总结一下，单同态的充要条件体现了同态核和单位元的重要性：从单同态推出同态核只包含单位元很容易，因为如果包含非 e_G 其他元素映射到 e_H，那就不是单射了。但是从同态核只包含单位元推出单同态有点绕，我们可以从它的逆反命题出发：如果同态不是单同态，如果一个映射不是单射，那么同态核不只包含单位元。证明也很直观，如果 a \neq b 有 f(a) = f(b)，根据同态， b^{-1}a \neq e_G 也会进入到同态核，将它“污染”。这也体现了同态核和单位元在同态中的重要性。满同态的充要条件很直观，没什么好说的。

4. 第一同构定理

如果两个群同构，那么从群论的角度，它们本质上是相同的，因为它们具有相同的群论性质，如阶数，子群结构等。

第一同构定理将群同态与商群联系了起来，它的定义如下：

如果 f: G \to H 是群同态，则同态核构造的商群与同态像是同构的，即 G/\text{Ker}(f) \cong \text{Im}(f)，其中同构映射为 \hat{f}(x\text{Ker}(f)) = f(x)。

我们从直观的角度理解下第一同构定理，它是说同态核构造的商群 G/\text{Ker}(f) 和同态像 \text{Im}(f) 同构，也就是说他们的同态既是单同态又是满同态。满同态很好理解：因为陪集划分了整个群，商集 G/\text{Ker}(f) 由陪集构成，自然也划分了整个 G，那么它的值域也是 \text{Im}(f)，也就是满射。那么单同态呢？商群 G/\text{Ker}(f) 的单位元是 \text{Ker}(f)，同态核也是 \text{Ker}(f)，所以同态核仅包含单位元，根据单同态的充要条件，这个同态是单同态。它巧妙的地方是，即使群 G 的同态核包含非 e_G 的元素，在商群 G/\text{Ker}(f) 中它们都归在了单位元 \text{Ker}(f) 中（商群的元素是陪集，也就是集合），因此就变成了单同态，真是小机灵鬼！

如上图所示，由 G 到 \varphi(G) 的同构映射 \varphi 可以被分解为一个满同态映射 \pi:G \to G/\text{Ker}(\varphi) 和一个单同态映射 \psi:G/\text{Ker}(\varphi) \to \varphi(G)。即 \varphi = \pi \circ \psi

如果你还不能很直观的理解第一同构定理，可以阅读这篇文章。

5. 总结

这一讲，我们介绍了群同态和同构。同态可以理解为两个群结构相似，同构就是两个群结构相同。而第一同构定理将群，子群，陪集，商群，同态，和同构联系到了一起，非常优雅，学起来很酸爽，大家好好感受。