5.1 固定点迭代与Newton方法

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5.1 固定点迭代与Newton方法第五章：非线性方程求解 —— 5.1 固定点迭代与Newton方法引言：从静止的方程到动态的逼近数学世界中，最令人着迷也最令人头疼的问题之一，莫过于求解非线性方程。我们面对的是形如 $ f(x) = 0 $ 的等式，其中函数 $ f $ 不是线性的——它可能弯曲、震荡、跳跃，甚至在某些点处不可导。这些特性使得我们无法像处理线性方程那样，通过简单的代数操作获得精确解。于是，我们转向数值方法，用“逼近”的艺术去触摸那些隐藏在复杂曲线背后的根。在众多方法中，固定点迭代法和Newton方法犹如双子星，一个温润如玉、结构优雅，一个凌厉如刀、收敛迅猛。它们不仅是数值分析的核心工具，更是理解非线性动力系统、优化算法乃至机器学习中梯度下降思想的重要基石。