1.4 平稳化与差分定d
1.4 平稳化与差分定 d
本节摘要：弱平稳要求均值、方差恒定，协方差只跟间隔有关。AR 和 MA 都建立在这块地板上。动手时把折线图、ACF 慢衰减、ADF 与 KPSS 对照起来决定 d：一阶差分去线性趋势，二阶去近似二次趋势；过差分会制造本可避免的 MA 单位根。
阅读收获
阅读完本节，你应当能够：
- 写出弱平稳三条，并解释为何非平稳上的显著回归可能是伪回归。
- 说明 ADF 原假设是「有单位根」，KPSS 原假设是「平稳」，四格对照如何用。
- 在示意序列上计算一阶、二阶差分，并判断何时该停。
一、为什么必须先铲平
严格平稳要求整段联合分布不随平移改变，实务几乎检验不了。我们用弱平稳（二阶平稳）：
- 均值是常数，不随 t 走。
- 方差是常数，不随 t 走。
- t 与 t-k 的协方差只依赖 k，不依赖绝对时间。
AR 和 MA 捕捉的是「当前与过去的线性关系」。关系若随时间变，估出来的 φ、θ 只是样本窗里的平均幻影，出窗即失效。带趋势的序列直接回归，容易得到很高的拟合优度和「显著」系数，其实两边都在爬坡，这就是伪回归：模型显著，预测不可靠。原文把 ARIMA 的核心假设写得很硬：经过适当差分后的序列是平稳的。d 就是「适当」的次数。
随机游走 y_t = y_{t-1} + 冲击，是单位根的原型。它的方差随时间涨，ACF 衰减极慢。一阶差分后变成冲击本身，若冲击近似白噪声，d=1 就够。很多宏观水平和价格水平像这种「积分过程」；很多增长率、一阶差分后的发货量才像平稳。
二、图、ACF、两套检验一起看
折线：围绕水平线晃、波幅大致稳定，才像平稳。明显斜坡、越来越宽的喇叭、固定周期的鼓包，都不是。
ACF：平稳时通常较快落入置信带。含趋势的非平稳会缓慢、近乎线性地衰减，很远的滞后仍很高。含季节时在 m、2m 处冒峰。PACF 在趋势情形下滞后 1 常很大，但不能只凭这一点定 p——那是还没差分。
ADF（增广迪基-福勒）：原假设 H0 是「存在单位根（非平稳）」；备择是无单位根。p 值小于显著性水平（常用 0.05）才拒绝 H0，倾向平稳。回归里可含常数、趋势项，选错辅助回归会得到相反结论，需要与图对照。
KPSS：原假设正好反过来，H0 是「（趋势）平稳」。p 值小则拒绝平稳。原文给出四格对照，动手时请当真用：
| ADF | KPSS | 怎么读 |
|---|---|---|
| 拒绝 H0（像平稳） | 不拒绝 H0（像平稳） | 当作平稳，d 可能为 0 |
| 不拒绝（像非平稳） | 拒绝（像非平稳） | 差分，d 至少加 1 |
| 拒绝（像平稳） | 拒绝（像非平稳） | 可能结构断点、或趋势设定不一致，先分段看图 |
| 不拒绝（像非平稳） | 不拒绝（像平稳） | 功效不足或样本短，回到图和 ACF，不要赌 |
⚠️ 常见坑：只看 ADF 的 p 值。短样本里 ADF 不容易拒绝单位根，你会过度差分；KPSS 对平稳的原假设在有结构折时也容易误拒。两套检验加一张图，比任何一个 p 值可靠。
概念调用（常见接口，不指定文件）：
# ADF：返回统计量、p 值、所用滞后、临界值等 adf_stat, adf_p, lags, nobs, crit, _ = adfuller(y, autolag="AIC") # 经验：adf_p 明显高于 0.05 且 ACF 慢衰减 → 先差分 z = y[1:] - y[:-1] adf_stat2, adf_p2, *_ = adfuller(z, autolag="AIC")
示意水平序列 10, 12, 15, 13, 16, 18, 20, 19, 22, 25 缓慢抬升，原始 ACF 会「粘着」，一阶差分 2, 3, -2, 3, 2, 2, -1, 3, 3 更像在零附近晃。这不是真实公开数据，只用来看差分在干什么。
图 ADF 与 KPSS 对着看，d 才不是拍脑袋
三、差分几次，以及何时停
一阶差分：z_t = y_t - y_{t-1}，通常去掉线性趋势。二阶：w_t = z_t - z_{t-1} = y_t - 2 y_{t-1} + y_{t-2}，对应近似二次趋势。原文写：多数序列一阶或二阶就够。d=3 在业务序列里极少见，出现时优先怀疑过差分或该分段。
季节性非平稳（每年夏天鼓一次）不是多做几次一阶差分能漂亮解决的。一阶差分去的是相邻点趋势；季节要用季节差分（本期减上个周期），那是 d 之外的 D，见第 4 章。把年季节用普通差分「磨平」，往往会留下在滞后 12 仍显著的 ACF，然后你错误地把 q 加到 12。
过差分的直觉：对已经平稳的序列再减一次，等于给序列乘上 (1-B)，会引入滑动平均里的单位根，差分序列变得「过度起伏」，可逆性变差。实务信号包括：差分后 ACF 滞后 1 接近 -0.5 左右的大幅负相关、信息准则明显变差、预测区间无谓地变宽。这时应回到较小的 d，而不是再加 q 去「修补」你自己制造的 MA。
💡 关键直觉：d 取最小能让检验与图同时安静下来的整数。多差一次不是「更保险」，是在制造新的单位根。
常数项和趋势项：若你相信序列是「围绕线性趋势的平稳」（趋势平稳），差分会把确定性趋势变成常数，也能用；但若其实是随机趋势（单位根），用「去线性趋势但不差分」会留下单位根。ADF 的辅助回归里含不含趋势，必须和图上的斜坡类型一致。这是检验「打架」时的第一排查点。
四、辅助回归怎么选，以及季节单位根不要用普通 ADF 硬判
ADF 可以含常数、含常数加趋势、或不含。图上有斜坡却用不含趋势的 ADF，容易把确定性趋势当成单位根；图上没有斜坡却加趋势，功效下降，该拒绝时不拒绝。所以辅助回归不是软件默认项，是对照折线选的。KPSS 同样有水平平稳与趋势平稳两套原假设。四格对照必须在「同一套趋势设定」下读，否则你是在让两个问不同问题的检验互撕。
滞后阶：ADF 的增广项是为了吸收残差相关。选太少，单位根检验本身的残差还不白，结论不可信；选太多，短样本里功效变差。常见做法用信息准则自动选增广滞后，但若季节明显，增广项可能用一堆短滞后去模仿季节，结论仍糊。这时更应先季节差分或先记下 m，而不是把 ADF 当万能。
季节单位根问的是「每年这个月减去年这个月之后还剩不剩永久冲击」。普通 ADF 问的是相邻差分。对月度用电，可能普通 d=0 但 D=1，或反过来。两个都非平稳时才考虑 d 与 D 都取 1，那会吃掉很多样本。动手口诀：先用普通工具定 d，若季节滞后仍粘，把 D 的嫌疑交给第 4 章，不要把普通 d 加到 2 假装把年循环磨平。磨平的代价是过差分加季节泄漏同时出现，后面定 p、q 会非常吵。
结构折让整段矩发生变化，单位根检验在全样本上没有良好定义。图上能看到 2020 年口径一变、或新仓启用，就应分段或加干预，而不是相信某一个 p 值。分段后每一段自己定 d，允许两段 d 不同——这不是不优雅，这是诚实。
五、动手对照：四格表怎么填
对示意抬升序列先做 ADF 与 KPSS（同一套是否含趋势）。若 ADF 不拒绝、KPSS 拒绝，d 至少加 1。一阶后再填四格，两边都指向平稳则停。若仍打架，先看结构折和辅助回归，不要赌某一个 p 值。差分后滞后 1 的 ACF 若大幅为负，考虑过差分，退回较小的 d。
问题：为什么不能只用 ADF？
短样本里 ADF 不容易拒绝单位根，你会过度差分。KPSS 原假设相反，两者一致才定 d。
问题：季节鼓包能不能靠普通 d=2 磨平？
不能。普通差分减相邻点，减不掉去年同月。硬磨会留下滞后 12 的峰，再错误地把 q 加到 12。
六、场景推演（示意，非真实序列）
电表日用电示意缓慢抬升。辅助回归要对照折线：有斜坡就让 ADF 带趋势设定，不要用软件默认。四格表在同一设定下填。两边都指向非平稳，一阶差分；再填四格，安静则 d=1。差分后滞后 1 出现大约负零点五的相关，怀疑过差分，退回。夏季鼓包在滞后 365 或周 7 上粘着，不是把普通 d 加到 2 能磨平的，记下 m 交给季节章。结构折若在新厂投产那天，全样本单位根没有良好定义，分段各自定 d，允许两段不同。增广滞后用准则选可以，但季节明显时增广项会用一堆短滞后模仿季节，结论发糊，更应先记账 m。d 取最小能让图和检验同时安静的整数，多差一次不是更保险。
七、口令卡与计算备忘
口令：最小 d 让图、ACF、ADF、KPSS 同时安静。弱平稳三条缺一，ARMA 地板就不在。ADF 原假设有单位根，KPSS 原假设平稳，四格一致才定，打架先查辅助回归与结构折。一阶去线性或随机趋势，二阶去近似二次，d=3 先怀疑过差。过差分信号是滞后 1 大负相关、θ 贴 -1、准则变差。季节粘着记 m，不要把普通 d 加到 12。近单位根有限样本可先差一次再看负 ACF 决定是否退回。分段后允许两段 d 不同。把辅助回归选择写成「对照折线有没有斜坡」，不要留给软件默认。
八、原文要点补全
原文写弱平稳三条：常数均值、常数方差、协方差只依赖间隔 k。非平稳直接建模可能伪回归，模型看似显著却捕捉的是非平稳本身。图形上平稳序列围绕常数均值、波幅稳定；非平稳有趋势、周期或异方差。含趋势时 ACF 缓慢线性衰减，高滞后仍高；含季节时在周期倍数处有峰。ADF 原假设存在单位根，p 值小于显著性水平才倾向平稳；KPSS 原假设平稳，方向相反。一阶差分去线性趋势，二阶再差一次，多数序列一到二阶够。季节性非平稳要用季节差分，不是多做普通差分。过差分引入可避免的 MA 单位根，差分序列过度起伏。把原文这些句子落实成「图+两检验+最小 d」，就是第 1 章定 d 的全部技术内容，后面理论章只是把单位根冲击「住下来」说清楚。
十、定差分阶的交接格式
交接只允许一种写法：原始图什么样、差分几次后图什么样、两个单位根检验落在哪一格、是否还要季节差分。禁止只写一个整数交差。若两段被结构折切开，就写两套阶，不要用全样本一个数字去抹折点。近单位根可先差一次，再看滞后一是否出现大负相关，出现就退回——这比一次拍死更接近循环识别。
本节速览
- 弱平稳三条：均值、方差恒定，协方差只随间隔变。
- 非平稳上的显著拟合常是伪回归：爬坡对爬坡。
- ADF 与 KPSS 原假设相反：一致才定 d，打架先查图和断点。
- ACF 慢衰减是单位根的图形指纹：不要在这种图上定 p、q。
- 一阶去线性趋势，二阶去二次；再多先怀疑过差分。
- 季节非平稳靠季节差分：不是把普通 d 加到 12。
- 过差分的信号：滞后 1 大幅负 ACF、准则变差、预测无谓变晃。
下一节在已经铲平的序列上读 ACF 与 PACF：截尾和拖尾怎样翻译成 p 和 q。