1.5 ACF与PACF定阶
1.5 ACF 与 PACF 定阶
本节摘要：在差分后的平稳序列上，ACF 度量与滞后 k 的总相关，PACF 度量去掉中间滞后之后的直接相关。AR(p) 的 PACF 在 p 后截尾、ACF 拖尾；MA(q) 的 ACF 在 q 后截尾、PACF 拖尾；双拖尾才考虑 ARMA。本节把读图规则变成可执行的候选清单，而不是唯一答案。
先说结论
阅读完本节，你应当能够：
- 写出样本 ACF 的含义：r(k) 用去均值后的交叉积估计 ρ(k)。
- 对照截尾/拖尾表，给出 AR、MA、ARMA 三类候选。
- 说明为何双拖尾时必须把信息准则和残差诊断接上，不能只靠一张图「看死」p 和 q。
一、两张图量的不是同一个相关
对平稳序列，滞后 k 的自相关 ρ(k) = Cov(y_t, y_{t-k}) / Var(y_t)。样本上常用
r(k) = Σ_{t=k+1}^{N} (y_t - ȳ)(y_{t-k} - ȳ) / Σ (y_t - ȳ)²
r(0) 恒为 1。图上会画 ±2 个标准误的带，落到带外才称「这个滞后显著」。PACF 的 φ_{kk} 是去掉滞后 1 到 k-1 的线性影响之后，y_t 与 y_{t-k} 的相关，它也等于把 AR(k) 拟合时第 k 个系数。计算上常见 Yule-Walker 或 Durbin-Levinson，动手时你只要会读图：PACF 问的是「中间人走开以后，这两人还握手吗」。
类比潮位：ACF 像问「现在水位和 3 小时前像不像」，哪怕中间 1、2 小时已经把信息传过来了，总相似度仍可能高。PACF 像问「控制住中间两小时之后，3 小时前还剩多少独特信息」。AR 过程正是「直接依赖最近 p 步」，所以 PACF 会在 p 处砍断。
二、截尾、拖尾与候选表
截尾：某个滞后之后迅速掉进带内，像刀切。拖尾：慢慢衰减或阻尼振荡，没有清楚刀口。原文的对照是定阶口诀，必须背熟：
| 过程 | ACF | PACF | 你怎么写候选 |
|---|---|---|---|
| 白噪声 | 滞后大于 0 基本在带内 | 同样在带内 | 差分后若已如此，考虑 d 已够且 p=q=0 |
| AR(p) | 拖尾 | 滞后 p 后截尾 | p 取截断处，q=0 |
| MA(q) | 滞后 q 后截尾 | 拖尾 | q 取截断处，p=0 |
| ARMA(p,q) | 都拖尾 | 都拖尾 | 只靠图定不死，要网格加准则 |
| 尚未平稳 | 缓慢粘着 | 多个滞后显著 | 先回到定 d，不要在这里加 p |
样本图从来不是理论图。N 不大时，带内带外会抖；显著滞后偶尔冒一个「野峰」，不一定真要写成 q=11。经验是：先看前十几阶的整体形态，季节滞后单独记账，单个刚好擦边的柱子优先当噪声。
💡 关键直觉：PACF 截尾定 p，ACF 截尾定 q。两张都拖着走，就承认「图不够用」，把球传给 AIC/BIC 和残差，而不是盯着图看到天黑。
图 截尾拖尾对照：定阶口诀可视化
三、把读图变成候选清单
假设差分后 PACF 在滞后 1、2 出带，从 3 起进带，ACF 则慢慢晃着衰减——按口诀这像 AR(2)。你仍应把 AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1) 一起带走：样本会骗人，AR(2) 的第二个系数可能并不显著。若 ACF 只在滞后 1 出带然后干净、PACF 慢慢衰减，像 MA(1)，同样带上 MA(2) 和 ARMA(1,1)。
季节：若在滞后 12、24 仍有峰，不要把 q 写成 12。那是季节 MA 或季节差分没做的信号。普通 p、q 看 1、2、3 这种短滞后；季节 P、Q 看 m 的倍数。混在一张待办里，是手工定阶最常见的混乱。
⚠️ 常见坑：在未差分序列上套这张口诀。趋势让 ACF 拖得很长，你会「看到」巨大的 p；其实 d 还没定。口诀的前提是弱平稳。
置信带随 n 变。n 小则带宽，柱子很难出带，你会低估阶；n 大则带窄，到处显著，你会高估阶。所以大样本更要看「形态」而不是「根根显著」。自动定阶函数内部往往用信息准则搜网格，相当于承认图不够用——你可以当助手，但要把搜到的模型再画残差 ACF，防止准则选中一个过拟合的 ARMA。
概念上列出候选即可：
候选 = [ (p=1, d=1, q=0), (p=2, d=1, q=0), (p=1, d=1, q=1), ] # 下一章：对每个做最大似然，比 AIC/BIC，再 Ljung-Box
Box-Jenkins 原文就承认识别有主观性。对抗主观性的办法不是放弃读图，而是：图给短名单，准则和残差给否决权。短名单过长（p、q 都搜到 5）在中等样本上会让虚假胜利变多，我更倾向短名单从读图来，网格只在邻域 ±1 里扩。
四、置信带、野峰，以及 ARMA 双拖尾时网格怎么收
样本 ACF 的标准误在白噪声假设下大约是 1/√n，故 ±2 倍大约是 ±2/√n。n=100 时带宽约 0.2，n=25 时带宽约 0.4，柱子很难出带，你会低估阶；n=1000 时带宽约 0.06，到处显著，你会高估阶。所以大样本更看形态：是否指数衰减、是否在 q 后整体进带，而不是根根计较。季节数据还要单独看 m 处是否稳定出带，那一根即使「只有刚刚出带」，只要年年重复，就比滞后 11 的野峰更值得进短名单。
野峰处理：若只有滞后 9 一根出带、前后都干净，优先当多重检验的偶然。非要把 q 写成 9，持出段通常会还债。若野峰正好是脉冲异常的回声，回预处理比改阶更对。PACF 同样会有野峰，尤其在 MA 过程里 PACF 本就拖尾，若干擦边柱是预期，不是 AR(6) 的证据。
ARMA 双拖尾时，网格从 (1,1) 长到 (2,1)、(1,2)，最多再试 (2,2)。再大，中等样本里虚假胜利会变多。信息准则会偏好略大的模型，所以网格必须先被读图约束。混合模型里 AR 与 MA 可能近似抵消（接近可逆或接近单位根的公共因子），估计不稳、系数标准误巨大。这时应简化成纯 AR 或纯 MA，而不是两边都留着「差不多的」因子。第 2 章看到标准误巨大、根贴圆，常常就是这种公共因子，不是迭代次数不够。
口诀表要连同「尚未平稳」那一行一起背。未差分的慢衰减不是大 p，是 d 的事。把这一行漏掉，本章所有漂亮的截尾拖尾都会用错地方。识别结束时把候选写成清单，附上「季节滞后是否记账」，交给第 2 章，不要在本章用眼睛宣布唯一赢家。
五、动手对照：把口诀写成短名单而不是唯一答案
差分后若 PACF 在 1、2 出带、从 3 进带，ACF 慢慢衰减：短名单写 AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1)。若 ACF 只在 1 出带然后干净：写 MA(1)、MA(2)、ARMA(1,1)。季节滞后单独一行记账。野峰不进短名单。本章结束把清单交给第 2 章，不在图上宣布冠军。
问题：双拖尾怎么办？
承认图定不死，网格只在邻域扩张，用 AIC/BIC 和残差否决。不要盯着图看到天黑。
问题：n 很大时到处显著怎么办？
看形态，不看根根柱子。带变窄是样本量效应，不是阶真的变成了 15。
六、场景推演（示意，非真实序列）
差分后的发货变化示意：PACF 两根出带后进带，ACF 慢慢晃。短名单写 AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1)，季节滞后 7 若出带另起一行，不把 q 写成 7。n=80 时带宽大约 0.22，擦边柱不当铁阶；n=800 时带很窄，到处显著，看整体是否指数衰减。滞后 9 单独一根野峰，优先当多重检验偶然或脉冲回声，回预处理比写成 MA(9) 更对。ARMA 网格只扩到 (2,2)，再大容易公共因子，系数符号相反、绝对值接近时简化成纯低阶。口诀前提是弱平稳，未差分的慢衰减不是大 p。识别结束把清单交给估计，眼睛不当冠军。Yule-Walker 算的 PACF 本身有样本误差，刀口多一阶或少一阶都正常，所以邻域必须留着。
七、口令卡与计算备忘
口令：PACF 截尾定 p，ACF 截尾定 q，双拖尾走邻域网格。样本 ACF 分母是去均值平方和，r(0)=1。带宽约 2/√n，小 n 低估阶，大 n 高估阶，看形态。季节峰看 m 倍数，不写进普通 q。野峰回预处理或当偶然。ARMA 网格上限 (2,2)，公共因子符号相反则简化。尚未平稳的慢衰减是 d 的事。PACF 来自 AR(k) 第 k 个系数的递推，本身有误差，刀口留 ±1。短名单 2 到 4 个交给第 2 章，准则和 Q 检验有否决权，眼睛没有冠军权。把口诀表与「未平稳」那一行一起背。
八、原文要点补全
原文给出样本自相关 r(k) 的交叉积公式，并指出 r(0)=1。ACF 图含 ±2 标准误带。AR(p) 的 ACF 拖尾（指数或阻尼振荡），MA(q) 的 ACF 在 q 后截尾；PACF 对 AR 截尾、对 MA 拖尾；ARMA 双拖尾。白噪声除滞后 0 外应进带。非平稳 ACF 缓慢衰减，应先差分。PACF 的 φ_kk 是剔除中间滞后之后的直接相关，也是 AR(k) 的第 k 个系数，常用 Yule-Walker 或 Durbin-Levinson 计算。定阶口诀后原文就提醒：多个组合看起来合理时用 AIC、BIC，识别有主观性。把这段原文映射到短名单纪律：图给刀口，准则给否决，季节滞后单独记账。流程图「ACF 是否截尾 → PACF 是否拖尾」只是简化指导，实际要结合诊断，不能当成自动售货机。
对照表（补全动作）
| 图上的样子 | 候选怎么写 | 不要写成 |
|---|---|---|
| PACF 在 2 后进带、ACF 慢慢晃 | AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1) | 只留 AR(2) 当唯一答案 |
| ACF 在 1 后干净、PACF 慢慢晃 | MA(1)、MA(2)、ARMA(1,1) | 把 PACF 很多柱写成 AR(6) |
| 两张都慢慢晃没有刀口 | 邻域网格到 (2,2) | 把 p、q 搜到 5 |
| 滞后 12 稳定出带 | 季节账本另记一行 | 普通 q 等于 12 |
| 滞后 9 单独一根野峰 | 当偶然或回预处理 | 写成 MA(9) 上线 |
| 未差分还在粘着衰减 | 先回定 d | 当成巨大的 p |
| n 很小带宽很宽 | 少信擦边柱 | 宣布全部不显著所以白噪声 |
| n 很大到处出带 | 看整体形态 | 根根显著就加阶 |
| 差分后已像白噪声 | 考虑 p=q=0 | 仍强行加 ARMA |
| 符号相反的 φ 与 θ 接近 | 公共因子，简化 | 两边都留着「更全」 |
九、示意算术走一遍
n=80 时 2/√n≈0.22，柱子刚出带可能是擦边；n=400 时带宽约 0.1，到处显著要看是不是整体指数衰减。差分后 PACF 两根出带，短名单仍带上 AR(1) 与 ARMA(1,1)，因为刀口有样本误差。滞后 7 的峰单独记账，不写进普通 q。把候选写成三行交给第 2 章，本章不宣布冠军。未差分的慢衰减整页划掉，口诀暂不适用。公共因子在估计阶段才会以符号相反的系数出现，识别阶段只需避免网格过大。把带宽、刀口邻域、季节账本三句话抄在 ACF 图旁边，读图主观性会下降。识别结束时短名单应能念给同事听：哪几个候选、为什么带上 ARMA(1,1)、季节滞后有没有另记，听得懂才算交付完成。
十、短名单怎么念给同事听
识别结束时只准念三句话：候选有哪几个、为什么带上混合模型、季节滞后有没有另记。听不懂就说明还在用眼睛宣布冠军。带宽随样本变化：点少时擦边柱不可信，点多时到处出带要看整体衰减而不是根根加阶。刀口左右各留一阶，是承认样本偏自相关本身有误差，不是优柔寡断。公共因子会在估计阶段以符号相反的系数露面，识别阶段只需把网格留在读图邻域。
重点提炼
- ACF 是总相关，PACF 是直接相关：中间滞后被控制住之后还剩什么。
- AR：PACF 截尾、ACF 拖尾；MA 相反；ARMA 双拖尾。
- 只在平稳序列上使用口诀：未差分的慢衰减不是大 p。
- 季节峰单独记账：不要把滞后 12 写成普通 q=12。
- 野峰与擦边柱优先当噪声：看前十几阶的形态。
- 交付 2～4 个候选：胜负留给似然、准则和白噪声检验。
- 主观性用短名单约束：网格只在读图邻域扩张。
下一章进入估计、残差和滚动预测：候选真正开始打架。