2.2 残差分析

2.2 残差分析

本节摘要：好模型应把线性相关吃进参数，剩下的残差接近白噪声：均值近零、彼此独立、方差稳定；正态性是推断和预测区间的加分项，不是唯一门禁。本节把时序图、残差 ACF/PACF、方差随时间的变化对照起来，决定是改阶、改差分，还是承认异方差要另想办法。

上手前先明确

阅读完本节，你应当能够：

1. 说出残差三性（独立性、同方差、正态性）各自对应的图形与失败后果。
2. 从残差 ACF 的峰判断更可能缺 AR、缺 MA，还是漏季节。
3. 区分「区间不可信」和「点预测完全不能用」：正态失败与相关失败的权重不同。

一、残差是模型没说完的话

拟合值是「按当前 φ、θ 应该出现的数」，残差是观测减拟合（在差分尺度或原尺度上，取决于软件；诊断前先确认）。若残差仍能被过去残差预测，说明相关结构没吃完。原文的诊断标准写得很直：残差应近似独立、同分布、均值零、方差恒定。这比「R 方高」苛刻，也更接近预测任务。

把残差画成对时间的折线。理想：围绕 0 乱窜，没有斜坡，没有越来越宽的喇叭，没有一串同号。若残差仍有斜坡，d 可能不够，或漏了漂移。若残差在旺季变宽，同方差失败，ARIMA 点预测也许还凑合，区间会骗人。若残差每隔 7 步鼓一次，漏了周季节。

示意残差（教学）：0.4, -0.3, 0.5, -0.2, 0.1, -0.4, 0.2, 0.0, -0.1, 0.3。看不出斜坡，像在零附近。若改成 0.4, 0.5, 0.6, 0.4, 0.7… 同号连成串，独立性已经死了，别急着看 QQ 图漂不漂亮。

二、三性不是同等权重

独立性是 ARIMA 的饭碗。同方差失败时，很多人仍用 ARIMA 出点预测，但必须改口：不要把高斯区间当承偌。正态性在大样本下靠中心极限，点预测仍可用；小样本且重尾时，极端潮位、极端出货的区间会偏窄。

残差 ACF 的读法与第 1 章类似，但对象换成残差。滞后 1 仍显著：常缺 MA(1) 或 AR(1)。若干短滞后 simultaneous 显著：阶整体不够。只在 7、14 显著：漏周季节，加 p、q 是错方向。残差 PACF 可辅助，但诊断阶段我更信残差 ACF 加 Ljung-Box，避免又开始「看图定阶」的第二现场。

⚠️ 常见坑：残差 QQ 图两端翘一点就全盘推翻模型，却对残差 ACF 滞后 1 的大柱子视而不见。先治相关，再谈是不是正态。

图 残差三性：先独立，再齐方差，正态排第三

三、工程上如何做完一轮诊断

固定一张检查单，避免每次心情不同：

1 残差对时间：有无斜坡、喇叭、成串同号
2 残差 ACF：短滞后、季节滞后是否出带
3 残差平方的 ACF：是否还有波动聚集
4 QQ 图：两端是否极端偏离
5 均值是否近 0
6 记下失败项，只改对应旋钮，不要同时改 d、p、q、变换
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一次只改一类问题。同时加阶又差分又取对数，你不知道是哪一刀起作用，也无法向同事复盘。原文把诊断失败的出口写回识别阶段，这是对的：诊断不是另起炉灶的「第五章」，而是流水线的回边。

同方差还有一条容易漏：残差对拟合值的散点。若拟合值大时残差扇子张开，对数变换在预处理阶段可能没做够。电表负荷、发货件数常有这个形状；潮位若在固定量程内晃，扇子可能不明显。

💡 关键直觉：白噪声是「没有可再线性预测的结构」，不是「残差必须长得像钟形」。钟形服务于区间；结构服务于点预测。

正态性检验在大样本几乎总会拒绝——一点点偏峰就被 n 放大。不要让 Jarque-Bera 的 p 值单独否决一个残差 ACF 已经干净的模型。相反，n 很小却「看起来很正态」也不能证明区间准确。把样本量写在诊断结论旁边。

四、标准化残差、脉冲与季节泄漏的细读

软件常提供标准化残差（除以估计的残差标准差）。看 QQ 图时用标准化后的更合适，避免尺度干扰。若干点超出 ±3，先回到原始日期：是否假日、是否台风、是否录入。能解释的做成干预再拟合，残差三性会一起变好；不能解释的，记为风险，不要为了 QQ 图好看而删掉持出段里也会出现的同类冲击——删了样本内漂亮，值班时同类冲击一来区间照样盖不住。

残差对滞后残差的散点可以辅助 ACF：若滞后 1 散点有斜率，独立性失败，和 ACF 滞后 1 出带是同一件事。对拟合值的散点抓异方差：喇叭口出现在高水平时，对数可能仍不够，或需要分段方差。残差平方的 ACF 显著，是波动聚集的指纹；这时 Ljung-Box 对水平残差可能通过，对平方残差不通过。两个检验都要做，口吻才能写成「点预测可用、区间需另法」。

季节泄漏的细读：周数据看 7、14、21；月数据看 12、24。只看前 10 阶会漏年季节。有人用「残差已经没有短阶柱」宣布成功，把季节柱当成野峰。联合 Q 检验若 m 不够大，也会一起漏。把季节滞后写进残差检查单，与第 1 章记账的 m 对齐，这才叫闭环。

正态性里 Jarque-Bera 用偏度与峰度，大样本几乎必拒绝。我只在 n 较小且 JB 极显著、QQ 两端明显弯曲时，才把区间降级。点预测门禁始终是独立性和持出误差。把 JB 的 p 值印在对外 PPT 上当「模型不合格」，是用错检验。

一次只拧一类旋钮的纪律，在残差阶段最容易破：看到又有滞后 1 又有滞后 12，同时加 MA(1) 和季节项，最后不知道谁起作用。应先处理更强的那根柱（通常是季节），再看短阶还剩什么。

五、动手对照：残差检查单一次只改一类

先折线：斜坡回 d，周期回季节，喇叭口回变换。再短滞后 ACF：出带回改 p 或 q。再季节滞后：7 或 12 出带不要加普通 q。再平方 ACF：显著则区间降级。QQ 图两端翘且 n 很大，不单独否决。一次只拧一类，否则无法复盘。

问题：正态失败是不是模型作废？

大样本点预测仍可建立在不相关新息上。正态服务区间。先治相关，再谈钟形。

问题：残差均值近 0 够不够？

不够。季节泄漏可以均值仍为零。独立性才是饭碗。

六、场景推演（示意，非真实序列）

把标准化残差对时间画开。同号成串，独立性已死，先别看 QQ。滞后 1 出带回短阶；滞后 7 出带回季节槽；斜坡回 d；喇叭口回对数或分段。平方 ACF 显著则水平相关可能已完、波动还在成串，口吻写成点预测可用、区间另法。一次只改一类：先季节再短阶，同时加 MA(1) 和季节项就无法复盘。大样本 Jarque-Bera 爱拒绝，不单独否决干净的相关结构。能解释的极端点做成干预再拟合；不能解释的留着，以免样本内漂亮、值班同类冲击一来区间盖不住。残差对拟合值的扇子张开，预处理阶段的变换可能不够。检查单固定六步，避免每次心情不同。

七、口令卡与计算备忘

口令：先独立，再齐方差，正态排第三。残差折线斜坡回 d，周期回季节，喇叭回变换。短滞后柱改 p 或 q，7/12 柱改季节槽。平方 ACF 显著则区间降级。标准化残差看 QQ，±3 先对日期定性。一次一类旋钮。大样本 JB 爱拒绝，不单独否决。一步残差才是诊断对象。均值近 0 不够。把六步检查单抄进值班，避免心情读图。干预能解释的极端点，删不掉值班还会遇到的冲击。残差对拟合值扇子张开，回到对数或分段方差，不是加 p。

八、原文要点补全

原文 5.1 把残差三性写全：零均值、同方差、无自相关，正态可选但利于区间。独立性用残差 ACF/PACF 加 Ljung-Box；图上非零滞后不应有显著尖峰，有尖峰则模型不充分，可能阶不对、季节没捕捉或外部冲击。正态性用直方图、QQ 图，以及 Shapiro-Wilk、Anderson-Darling、Jarque-Bera；原假设服从正态，p 值小则拒绝。原文强调：即使不完全正态，只要独立，点预测通常仍可用；偏斜、峰度或异常值会伤区间，可考虑变换或对分布假设更松的方法。同方差失败时方差随时间或水平变，区间会骗人。把「独立性比正态性更关键」写进检查单优先级，避免 QQ 图两端微翘就推翻模型、却放过滞后 1 的大柱。

对照表（补全动作）

九、示意算术走一遍

原文把 Shapiro-Wilk、Anderson-Darling、Jarque-Bera 列为正态检验，原假设服从正态。大样本一点点偏峰就会拒绝，所以优先级排在独立性之后。独立性失败时点预测不可信；同方差失败时区间骗人；正态失败时极值区间偏。残差平方的 ACF 抓波动聚集，水平 Q 通过仍可能要降级区间。一次只改一类：先季节柱再短阶柱。能解释的极端点做成干预，不能解释的留着以免值班时同类冲击把区间打穿。把三性权重抄在 QQ 图上方，避免两端微翘就推翻模型。

温故知新

• 残差是没吃完的相关：先看独不独立，再看漂不漂亮。
• 三性权重不同：独立失败伤点预测；异方差伤区间；非正态在大样本可降级。
• 残差 ACF 的峰位置在指路：短滞后改阶，7/12 改季节，斜坡改 d。
• 一次只拧一类旋钮：否则无法复盘。
• 残差平方的 ACF 用来抓波动聚集，普通 ACF 抓的是水平相关。
• 大样本正态检验爱拒绝：别让它一票否决干净的相关结构。
• 诊断是回边不是新章：失败就回识别，而不是加层。

下一节把「看起来进带」升级成正式的联合检验：Ljung-Box Q，以及自由度为什么要减 p+q。