2.1线性方程组

2.1 线性方程组

线性方程组是线性代数的核心部分。很多问题都可以用线性方程组表示，线性代数也为我们提供了解这类问题的方法。

例2.1
一家公司生产产品 N_1,N_2,...,N_n 需要用到原料 R_1,R_2,...,R_m 。生产一单位产品 N_j 所需要原料 R_i 的用量为a_{ij} ，这里 i =1,2,...,m; j =1,2,...,n。

问题的目标是找到一组最优的生产方案：在原料 R_i 总可用量为 b_i 的条件下生产产品 N_j 的量 x_j 为多少时没有任何原料剩余。

如果我们生产 x_1,x_2,...,x_n 单位的对应品种产品，我们需要原材料 R_i 的总用量为:

a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n. \tag{2.2}

可行解(x_1,x_2,...,x_n)\in \R^n，因此也就需要满足下列条件：

a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \tag{2.3}

这里a_{ij}\in \mathbb{R}, b_{i}\in \mathbb{R}

式2.3是线性方程组的通用表达形式，x_1,x_2,...,x_n是方程组中的未知量。每个满足2.3式的n-元组(x_1,x_2,...,x_n)\in \R^n都是这个线性方程组的一个解。

例2.2
线性方程组

x_1+x_2+x_3=3\\ x_1-x_2+2x_3=2\\ 2x_1+3x_3=1 \tag{2.4}

是没有解的。因为把第一个方程和第二个方程相加得到2x_1+3x_3=5与第三个方程发生了冲突。

我们再来看这样一个方程组：

x_1+x_2+x_3=3\\ x_1-x_2+2x_3=2\\ x_2+x_3=2 \tag{2.5}

第一个方程减掉第三个方程可以得到x_1=1。第一个方程加第二个方程可以得到2x_1+3x_3=5，因此x_3=1。根据第三个方程，我们又得到x_2=1。因此，(1,1,1)是唯一的可行解也就是唯一解（可以通过代入法验证(1,1,1)是方程组的一个解）。

第三个案例我们再来看这样一个方程组：

x_1+x_2+x_3=3\\ x_1-x_2+2x_3=2\\ 2x_1+3x_3=5 \tag{2.6}

因为第一个方程和第二个方程相加得到第三个方程，我们可以把第三个多余的方程消掉。从前两个方程中我们可以得到2x_1=5-3x_3, 2x_2=1+x_3。我们定义x_3=a\in \R^3作为自由变量，任意一个满足下列形式的三元组都是方程组的解：

\left[\frac{5}{2}-\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a,a \right], a\in \mathbb{R} \tag{2.7}

因此，我们得到了一个包含无穷个解的解集。

总的来说，对于一个实数域内的线性方程组，它要么无解，要么有唯一解，要么有无穷个解。线性回归（第9章）提供了一个求像例2.1这样无解线性方程组的（近似）解的一个方法。

注：线性方程组的几何意义。在一个只有 x_1,x_2 两个变量的方程组中，每个方程都被代表了 x_1-x_2 平面内的一条直线。线性方程组的解要分别满足其中所有方程里任意一个方程，所以它同时也是这些直线的交点。交点可以组成一条直线（如果两个方程描述的是同一条直线），可以组成一个点，或为空（两条直线平行）。图2.3描述了下面这个线性方程组的几何表示：

最终的解为(x_1,x_2)=(1,1/4)。类似地，对于三个变量，每个线性方程在三维空间中确定一个平面。这些平面相交形成的结果同时满足所有的线性方程，它们可以得到一个解集，可能是一个平面、一条线、一个点或为空（在这些平面没有公共的交点的情况下）。

为了引出解线性方程组的符号方法，我们介绍一种有效的缩写方法。我们将系数 a_{ij} 写作向量并将向量构造为矩阵。换而言之，我们将线性方程组改写为如下形式：

接下来，我们将对这些矩阵及其定义的运算规则作出进一步的探究。我们将在第2.3节中讲述线性方程组的解法。