3.3向量长度和距离（75）

3.3 向量长度和距离（75）

在 3.1 节中，我们已经讨论过计算向量长度需要用到的范数。内积和范数这两个概念紧密相连，因为任意的内积可以自然地诱导出一个范数

我们就可以使用内积计算向量的长度了。

注释
不是所有范数都是由内积诱导出来的

曼哈顿范数（式 3.3）就是一个例子。下面我们聚焦于内积诱导的范数进行讨论，并引出相关的几何直观概念，如长度、距离和夹角。

注（柯西-施瓦兹不等式）：内积空间 (V, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle)中由内积 \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle 诱导的范数 \|\cdot\|满足柯西-施瓦兹不等式：

|\!\left\langle{x, y}\right\rangle | \leqslant \|x\| \cdot\|y\|. \tag{3.17}

示例 3.5（使用内积计算向量长度）
在几何中，我们常关心向量的长度。现在我们可以使用内积计算它们。例如取 x = [1, 1]^{\top}\in \mathbb{R}^{2}，并令其上的内积为点积，则可以得到其长度

\|x\| = \sqrt{ x^{\top}x } = \sqrt{ 1^{2} + 1^{2} } = \sqrt{ 2 }. \tag{3.18}

现在我们考虑另一个矩阵决定的内积：

\left\langle x, y \right\rangle := x^{\top}\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} \right]y = x_{1}y_{1} - \frac{1}{2}(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}) + x_{2}y_{2} \tag{3.19}

如果我们根据这个内积的定义进行计算范数，当x_{1}和x_{2}同号时，结果会小于内积内积诱导出的范数的值，反之则会大于它。我们可以使用x = [1, 1]^{\top}进行实验，并发现它“看上去”比使用点积诱导出的范数的度量下要短：

\left\langle x, x \right\rangle = x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 1 - 1 + 1 = 1 \implies \|x\| = \sqrt{ 1 } = 1. \tag{3.20}

定义 3.6（距离和度量）
考虑一个内积空间(V, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle)，任取向量x, y \in V，称

d(x, y) := \|x - y\| = \sqrt{ \left\langle x - y, x - y \right\rangle } \tag{3.21}

为向量x和y之间的距离。如果我们选用点积作为V上的内积，则得出的距离称为* Euclid 距离*（也称欧氏距离）。这样的映射

\begin{align} d: V \times V & \rightarrow \mathbb{R} \tag{3.22}\\ (x, y) & \mapsto d(x, y) \tag{3.23}\end{align}

称为度量。

注释
和向量长度类似，确定向量之间的距离不一定需要内积，使用范数足矣。如果我们有由内积诱导的范数，向量间的距离因选择的内积的不同而不同。

一个度量d满足下面三条性质：

1. （正定性）对任意的x, y \in V，d(x, y) \geqslant 0，当且仅当x=y时取等，
2. （对称性）对任意的x, y \in V，d(x, y) = d(y, x)，
3. （三角不等式）对任意的x, y, z \in V，d(x, y) + d(y, z) \geqslant d(x, z)。

注释
第一次看到度量的定义时，读者会发现它和内积十分相似。但如果细致比对定义 3.3 和定义 3.6，我们会发现二者的“方向”截然相反。如果两向量x, y \in V的内积较大，则它们之间的度量较小，反之亦然。