3.6正交补
文档摘要
3.6 正交补 我们在定义了正交这一概念之后可以来看看互相正交的线性空间了。这样的线性空间在第十章讨论线性降维的几何视角时十分重要。 考虑一个$D$维的线性空间$V$和一个$M$维的子空间$U \subset V$，$U$的正交补（orthogonal complement）$U^{\perp}$是一个$(D-M)$维的子空间，其中的任何向量都与$U$中的任何向量垂直。进一步我们有$U \cap U^{\perp} = \{ 0 \}$，于是$V$中的任何向量$x$可以被唯一分解为下面的形式： $$ x = \sum\limits{m=1}^{M} \lambda b{m} + \sum\limits{j=1}^{D-M} \psi{i}b{j}^{\bot}, \quad
3.6 正交补
我们在定义了正交这一概念之后可以来看看互相正交的线性空间了。这样的线性空间在第十章讨论线性降维的几何视角时十分重要。
考虑一个D维的线性空间V和一个M维的子空间U \subset V，U的正交补（orthogonal complement）U^{\perp}是一个(D-M)维的子空间，其中的任何向量都与U中的任何向量垂直。进一步我们有U \cap U^{\perp} = \{ 0 \}，于是V中的任何向量x可以被唯一分解为下面的形式：
其中(b_{1}, \dots, b_{M})是U的一个基，(b^{\perp}_{1}, \dots, b^{\perp}_{D-M})是U^{\perp}的一个基。
图3.7 三维线性空间的平面可被与其垂直单位向量唯一确定，后者是其正交补空间的基
因此，三维线性空间中的平面U的正交补也可以用来描述平面本身（平面是二维的）。具体来说，三维空间的一个向量w如果满足\|w\| = 1，是某个平面U的正交补空间U^{\perp}的一个基，如图3.7所示。在图中，所有与w垂直的向量一定在平面U中，故w也被称作平面U的法向量（normal vector）
一般地，正交补空间可被用来刻画n维线性空间和仿射空间（affine space，译者注：也称线性流形）中的超平面（hyperplanes）