4.5奇异值分解

文档摘要

4.5 奇异值分解矩阵的奇异值分解（SVD）是线性代数中的一种核心矩阵分解方法。它被称为“线性代数的基本定理”（Strang, 1993），因为它可以应用于所有矩阵，而不仅仅是方阵，并且它总是存在。此外，正如我们将在下文探讨的，矩阵$A$的SVD，它代表了一个线性映射$\Phi:V\to W$，量化了这两个线性空间底层几何之间的变化。我们推荐阅读Kalman（1996）以及Roy和Banerjee（2014）的工作，以更深入地了解SVD的数学原理。定理 4.22（SVD定理）。设$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$是一个秩为$r\in [ 0, \min ( m, n) ]$的矩形矩阵。A的SVD是一种形式如下的分解： 1723803353345 (4.