习题

文档摘要

习题 4.1 使用拉普拉斯展开（使用第一行）和萨鲁斯法则计算行列式对于矩阵 $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&4&6\\0&2&4\end{array}\right]$$ 4.2 高效地计算以下行列式： $$\begin{bmatrix}2&0&1&2&0\\2&-1&0&1&1\\0&1&2&1&2\\-2&0&2&-1&2\\2&0&0&1&1\end{bmatrix}$$ 4.3 计算以下矩阵的特征空间： $$A:=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\quad B:=\begin{bmatrix}-2&2\\2&1\end{bmatrix}$$ 4.

习题

4.1 使用拉普拉斯展开（使用第一行）和萨鲁斯法则计算行列式

对于矩阵

A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&4&6\\0&2&4\end{array}\right]

4.2 高效地计算以下行列式：

\begin{bmatrix}2&0&1&2&0\\2&-1&0&1&1\\0&1&2&1&2\\-2&0&2&-1&2\\2&0&0&1&1\end{bmatrix}

4.3 计算以下矩阵的特征空间：

A:=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\quad B:=\begin{bmatrix}-2&2\\2&1\end{bmatrix}

4.4 计算以下矩阵的所有特征空间：

\boldsymbol A=\begin{bmatrix}0&-1&1&1\\-1&1&-2&3\\2&-1&0&0\\1&-1&1&0\end{bmatrix}

4.5 矩阵的可对角化与其可逆性无关。确定以下四个矩阵是否可对角化和/或可逆：

\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}

4.6 计算以下变换矩阵的特征空间。它们是否可对角化？

a. 对于

\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&3&0\\1&4&3\\0&0&1\end{bmatrix}

b. 对于

\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

4.7 以下矩阵是否可对角化？如果是，确定它们的对角形式以及使变换矩阵对角化的基。如果不是，给出它们不可对角化的原因。

a.

A=\begin{bmatrix}0&1\\-8&4\end{bmatrix}

b.

\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}

\boldsymbol A=\begin{bmatrix}5&-6&-6\\-1&4&2\\3&-6&-4\end{bmatrix}

4.8 找到矩阵的奇异值分解（SVD）：

\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3&2&2\\2&3&-2\end{bmatrix}

4.9 找到以下矩阵的奇异值分解：

\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&2\\-1&1\end{bmatrix}

4.10 找到以下矩阵的秩-1近似：

\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3&2&2\\2&3&-2\end{bmatrix}

4.11 证明对于任意A\in\mathbb{R}^{m\times n}，矩阵A^\top A和AA^\top具有相同的非零特征值。

4.12 证明对于x\neq0，定理4.24成立，即证明

\max_{x}\frac{\|Ax\|_{2}}{\|x\|_{2}}=\sigma_{1}

其中\sigma_1是A\in\mathbb{R}^{m\times n}的最大奇异值。