5.1一元函数的微分

5.1 一元函数的微分

接下来我们简要复习一下学过高中数学读者较为熟悉的一元函数的微分。我们从用于定义微分的重要概念——一元函数 y = f(x), x,y \in \mathbb{R} 的差商开始。

定义 5.1 (差商）
一元函数的差商

\frac{\delta y}{\delta x} := \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x} \tag{5.3}

计算连接函数 f 之图像上的两点的割线之斜率。如图 5.3 所示，两点的横坐标分别为 x_{0} 和 x_{0} + \delta x。

若 f 是线性函数，差商也可以看做函数 f 上从点 x 至 x + \delta x 之间的平均斜率。若对 \delta x 去极限 \delta x \rightarrow 0，我们得到了 f 在 x 处的切线斜率；如果 f 可微，这个切线斜率就是 f 在 x 处的导数。

定义 5.2 （导数）
对正实数 h > 0，函数 f 在 x 处的导数由下面的极限定义：

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} := \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \tag{5.4}

对应到图 5.3 中，割线将变为切线。

f 的导数时刻指向 f 提升最快的方向。

示例 5.2 （多项式函数的导数）
我们想计算多项式函数 f(x) = x^{n}, n \in \mathbb{N} 的导数。即使我们可能已经知道答案是 n x^{n-1}，但我们依然希望使用导数和差商的定义导出它。
使用导数的定义 (5.4)，我们有

\begin{align}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \lim_{h \to 0} \frac{{\color{blue} f(x+h)} - {\color{orange} f(x)}}{h} \tag{5.5a}\\&= \lim_{h \to 0} \frac{{\color{blue} (x + h)^n} - {\color{orange} x^n}}{h} \tag{5.5b} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{{\color{blue}\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^i} - {\color{orange}x^n}}{h}. \tag{5.5c}\end{align}

注意到 \displaystyle {\color{orange} x^{n}} = \binom{n}{i} x^{n-0}h^{0}，所以上式分子相当于求和项从 1 开始，于是上式变为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \lim_{ h \to 0 } \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}h^{i}}{h} \tag{5.6a}\\ &= \lim_{ h \to 0 } \sum\limits_{i=1}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}h^{i-1} \tag{5.6b}\\ &= \lim_{ h \to 0 } \left( \binom{n}{1} x^{n-1} + \underbrace{\sum\limits_{i=2}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}h^{i-1}}_{\to 0 \text{ as } h \rightarrow 0} \right) \tag{5.6c}\\ &= \frac{n!}{1!(n-1)!}x^{n-1} = nx^{n-1}. \tag{5.6d} \end{align}

5.1.1 Taylor 级数

所谓 Taylor 级数是将函数 f 表示成的那个无限项求和式，其中的所有的项都和 f 在点 x_{0} 处的导数相关。

定义 5.3（Taylor 多项式）
函数 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 在点 x_{0} 的 n 阶 Taylor 多项式是

T_n(x) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k, \tag{5.7}

其中 f^{(k)}(x_{0}) 是 f 在 x_{0} 处的 k 阶导数（假设其存在），而 \displaystyle \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} 是多项式各项的系数。

对于所有的 t \in \mathbb{R} 我们约定 t^{0} := 1

定义 5.4（Taylor 级数）
对于光滑函数 f \in \mathcal{C}^{\infty}, f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}，它在点 x_{0} 处的 Taylor 级数定义为

T_\infty(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k. \tag{5.8}

若 x_{0} = 0，我们得到了一个 Taylor 级数的特殊情况 —— Maclaurin 级数。如果 f(x) = T_{\infty}(x)，则我们称 f 是解析函数。

注：一般而言，某个不一定为多项式函数的 n 阶 Taylor 多项式是这个函数的近似，它在 x_{0} 的邻域中与 f 接近。事实上，对于阶数为 k \leqslant n 的多项式函数 f，n 阶 Taylor 多项式就是这个多项式函数本身，因为对所有的 i > k，多项式函数 f 的 i 阶导数 f^{(i)} 均为零。

示例 5.3（Taylor 多项式）
考虑多项式

f(x) = x^{4} \tag{5.9}

并求它在 x_{0} = 1 处的 Taylor 多项式 T_{6}。我们先求函数在该点的各阶导数 f^{(k)}(1), k=0, \dots, 6：

\begin{align}f(1) &= 1 \tag{5.10} \\f'(1) &= 4 \tag{5.11} \\f''(1) &= 12 \tag{5.12} \\f^{(3)}(1) &= 24 \tag{5.13} \\f^{(4)}(1) &= 24 \tag{5.14} \\f^{(5)}(1) &= 0 \tag{5.15} \\f^{(6)}(1) &= 0 \tag{5.16}\end{align}

于是所求的 Taylor 多项式为

\begin{align}T_6(x) &= \sum_{k=0}^{6} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \tag{5.17a}\\&= 1 + 4(x-1) + 6(x-1)^{2} + 4(x-1)^{3} + (x-1)^{4} + 0.\tag{5.17b}\end{align}

整理得到

\begin{align}T_{6}(x) &= (1-4+6-4+1) + x(4-12+12-4) \\&~ ~ ~+ x^{2}(6-12+6) + x^{3}(4-4) + x^{4}\tag{5.18a}\\&= x^{4} = f(x).\tag{5.18b}\end{align}

我们得到了和原函数一模一样的 Taylor 多项式。

示例 5.4（Taylor 级数）
如图 5.4，考虑函数

f(x) = \sin (x) + \cos(x) \in \mathcal{C}^{\infty}.

我们计算其在 x_{0} = 0 处的 Taylor 级数，也就是 Maclaurin 级数。我们可以求得 f 在 0 处的各阶导数：

\begin{align} f(0) &= \sin(0) + \cos(0) = 1 \tag{5.20}\\ f'(0) &= \cos(0) - \sin(0) = 1 \tag{5.21}\\f''(0) &= -\sin(0) - \cos(0) = -1 \tag{5.22}\\f^{(3)}(0) &= -\cos(0) + \sin(0) = -1 \tag{5.23}\\f^{(4)}(0) &= \sin(0) + \cos(0) = f(0) = 1\tag{5.24} \\ &\vdots \end{align}

从上面的结果我们可以找到一些规律。首先由于 \sin(0)= 0，有级数的各项系数只能为 \pm {1}，其中每个不同的值在切换为其相反数时都连续出现两次，进而有 f^{(k+4)}(0)= f^{(k)}(0)。
因此我们可以得到函数 f 在 x_{0} = 0 处的 Taylor 级数：

\begin{align} T_{\infty}(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}\tag{5.25a}\\ &= 1 + x - \frac{1}{2!}x^{2} - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} - \cdots\tag{5.25b}\\ &= {\color{orange} 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} \mp \cdots } + {\color{blue} x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} \mp \cdots }\tag{5.25c}\\ &= {\color{orange} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k} } + {\color{blue} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1} } \tag{5.25d} \\ &= {\color{orange} \cos(x) } + {\color{blue} \sin(x) } ,\tag{5.25e} \end{align}

其中我们使用了三角函数的幂级数表示：

\begin{align} \cos(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}, \tag{5.26}\\ \sin(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k + 1)!}x^{2k+1}. \tag{5.27} \end{align}

图 5.4 展示了上述条件下的前几个 Taylor 多项式 T_{n}，其中 n=0,1,5,10。

注：Taylor 级数是一种特殊形式的幂级数：

f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k}(x-c)^{k},\tag{5.28}

其中 a_{k} 是系数，c 是常数。不难看出这与定义 5.4 形式的一致性。

5.1.2 微分法则

下面我们简要介绍基本的微分法则，其中我们使用 f' 表示 f 的导数。

其中 g \circ f 表示函数的复合：x \mapsto f(x) \mapsto g\big[f(x)\big]。

示例 5.5（链式法则）
使用链式法则计算函数 h(x) = (2x+1)^{4} 的导数。
不难看出

\begin{align}h(x) &= (2x+1)^{4} = g \big[ f(x) \big], \tag{5.33}\\ f(x) &= 2x+1, \tag{5.34}\\g(f) &= f^{4}, \tag{5.35}\end{align}

然后计算 f 和 g 的导数：

\begin{align}f'(x) &= 2,\tag{5.36}\\g'(f) &= 4f^{3},\tag{5.37}\\\end{align}

这样我们就得到 h 的导数：

h'(x) {~}\mathop{=\!=\!=}\limits^{（5.32}{~} g'(f)f'(x) = (4f^{3})\cdot2 {~}\mathop{=\!=\!=}\limits^{(5.34)}{~}4(2x+1)^{3} \cdot 2 = 8(2x+1)^{3}, \tag{5.38}

其中我们用到了链式法则，并在 g'(f) 中的 f 代换为 (5.34) 中的表达式。