5.8线性近似和多元Taylor级数

文档摘要

5.8 线性近似和多元 Taylor 级数函数 $f$ 的梯度 $\nabla f$ 通常被用作 $f$ 在 $x{0}$ 附近的局部线性近似（如图 5.12 所示）： $$f(x)\approx f(x{0})+(\nabla{x}f)(x{0})(x - x{0})$$ 其中 $(\nabla{x}f)(x{0})$ 是 $f$ 在 $x0$ 处关于 $x$ 的梯度值。如图5.12所示，这种线性近似在靠近 $x0$ 时精度较高，但随着与 $x0$ 的距离增大而逐渐失效。值得注意的是，式（5.148）本质上是多元泰勒级数在 $x0$ 处仅保留前两项的特例。