4.2 匹配与倾向得分：PSM与IPTW

4.2 匹配与倾向得分：PSM 与 IPTW

本节摘要：倾向得分 e(Z)=P(X=1|Z) 把多维协变量压缩成一个标量，条件于它即可实现"伪随机化"。本节给出 PSM 的完整参数流程（估计、共同支撑、匹配算法、卡钳、平衡诊断）与 IPW 的加权公式、Hájek 修正与极端权重的处理，并说明两者与回归调整的适用边界。

一维化的洞察

后门调整要求按 Z 分层，Z 有 20 个协变量时层内样本瞬间耗尽。Rosenbaum 与 Rubin 在 1983 年证明的关键定理化解了维度灾难：如果给定 Z 可交换，那么给定倾向得分 e(Z) 也可交换。直觉是：决定"谁进处理组"的全部信息已经被 e(Z) 压缩完毕，两个 e 值相同的人，进入处理组的概率相同，相当于各自经历了抛硬币。于是调整只需按一个标量分层/匹配/加权。

倾向得分本身用任何分类器估计（logistic 回归最常见，梯度提升在非线性强时更准），但要注意估计的目的：不是预测分配越准越好，而是让匹配后协变量平衡。预测精度与平衡诊断可能背道而驰——这被称为预测赢平衡输的悖论，所以模型选择以平衡为准绳（见后文诊断）。

图：共同支撑域与匹配示意

PSM 完整参数流程

第一步：估计倾向得分。 logistic 回归 e(Z) = 1/(1+exp(−Zβ))，协变量选入的原则是"影响处理分配或结果的变量都放"，只影响分配不影响结果的可放可不放（放了不省方差）。

第二步：检查共同支撑域。 画出两组得分的重叠直方图。左端只有控制组、右端只有处理组的区域是不可比的——要么截断样本（估 ATT 时天然只剩处理组的支撑域），要么承认目标总体变化并明确声明。

第三步：选择匹配算法与参数。 近邻匹配：1:1 或 1:k；有放回（bias 小、依赖复杂度）或无放回；卡钳（caliper）：两个得分的 logit 差不超过 0.2 倍标准差是常用经验值，超出的丢弃。半径匹配与核匹配是近邻的平滑版。

第四步：平衡诊断（比模型调参更重要）。 匹配后逐协变量比较标准化均值差 SMD = (x̄₁−x̄₀)/√((s₁²+s₀²)/2)，经验线 |SMD| < 0.1 视为平衡；达不到就回到第一步改模型（加交互项、换算法），而不是换更宽的卡钳硬凑。

第五步：估效应与推断。 匹配样本上算组间差；标准误需考虑匹配的不确定性（自助法或按匹配对聚类）。

IPW：加权而不是丢弃

逆概率加权走另一条路：不配对，直接给每个人赋权——处理组权重 1/e(Z)，控制组权重 1/(1−e(Z))。加权后的伪总体里，处理分配与协变量独立。ATE 估计量 τ̂ = Σ X·Y/(n·ê) − Σ (1−X)·Y/(n·(1−ê))。极端权重（ê 靠近 0 或 1）会让方差爆炸，两道保险：Hájek 修正（权重自归一化，分母用权重和）与权重收缩（winsorize 或 overlap 权重，后者给两组权重都限制在有界区间，同时把目标量变为重叠区上的效应）。

PSM 与 IPW 的取舍可总结成三句话：PSM 丢掉支撑域外样本、估计更"局部"（近 ATT），诊断直观；IPW 用全部样本、效率高，但极端权重是常态风险；两者结论应当交叉验证——分歧大通常意味着支撑域问题或模型错设。与回归调整的关系：回归是"在模型内插值"，支撑域外的外推由函数形式兜底；加权是"在数据范围内重新堆质量"。实践里叠加使用（加权回归、增广 IPW——见下节 AIPW）是稳健性的免费午餐。

概念代码：从得分到诊断

# 概念流程：估计 → 加权 → 平衡检查（示意，省略数据准备）
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np

e = LogisticRegression().fit(Z, X).predict_proba(Z)[:, 1]   # 倾向得分
w = np.where(X == 1, 1.0/e, 1.0/(1.0-e))                    # 逆概率权重
w = w / w.mean()                                            # Hájek 型归一

tau_ipw = np.average(Y[X==1], weights=w[X==1]) - np.average(Y[X==0], weights=w[X==0])
# 诊断：加权后逐协变量 SMD 应全部落到 ±0.1 内
for j in range(Z.shape[1]):
    z1w = np.average(Z[X==1, j], weights=w[X==1]); z0w = np.average(Z[X==0, j], weights=w[X==0])
    v1 = np.average((Z[X==1, j]-z1w)**2, weights=w[X==1]); v0 = np.average((Z[X==0, j]-z0w)**2, weights=w[X==0])
    smd = (z1w - z0w) / np.sqrt((v1 + v0) / 2)
    print(f"协变量{j} SMD={smd:+.3f}")
​

⚠️ 两个高频翻车点：其一，倾向得分模型追求预测 AUC，把只影响结果的强预后变量排除在外，导致平衡失败——入模标准看因果角色，不看预测增益。其二，匹配后样本量骤降却不重新声明目标总体，把 ATT 悄悄当 ATE 汇报。

FAQ：PSM 常见质疑的回应

问题：倾向得分匹配被计量学界批评过，还能用吗？

能，但要清楚批评的靶点。King 与 Nielsen 的批评聚焦"匹配后继续用倾向得分做平衡诊断与后续分析"的做法（得分上平衡不等于协变量上平衡，且匹配在得分维度上做可能放大模型依赖）。正确姿势：得分只用于配对，配对成功后丢开得分，逐协变量查 SMD、逐协变量做结果分析。丢弃与保留也要报告（King 版的cem 粗化精确匹配是替代方案）。

问题：1:1 匹配丢了大量控制组，浪费吗？

不一定。多匹配（1:k，k=2~4）能降方差，但每个匹配对的质量下降；卡钳收紧同理。经验：k 取 2-4 之间试几档，报告效应对 k 的敏感性。若控制组比处理组大数十倍且支撑良好，全样本的 IPW 通常比 1:1 匹配更有效率。

本节要点回顾

• 核心定理：条件于倾向得分即可条件可交换，多维调整一维化。
• PSM 五步：估计得分、查支撑域、选匹配参数（卡钳 0.2 倍 logit 标准差）、平衡诊断（SMD<0.1）、效应与推断。
• IPW 要点：ATE 权重 1/e 与 1/(1−e)，Hájek 修正与 overlap 权重控方差。
• 取舍：PSM 局部直观、IPW 全样本高效，结论交叉验证；叠加使用更稳健。
• 下一节：高维协变量下把倾向得分与结果模型都交给机器学习——双重机器学习。