6.2 分数型方法：GES与评分搜索

6.2 分数型方法：GES 与评分搜索

本节摘要：分数型因果发现给每张候选 DAG 打一个拟合优度减复杂度惩罚的分，搜索分最高的图。本节讲 BIC/BDeu 分数的构成、GES 的贪心两阶段（前向加边、后向删边）及其一致性、与约束型的优劣对比，以及搜索空间爆炸的现实应对。

给图打分，而不是逐条检验

约束型方法的检验是局部的、逐对的；分数型方法换一个视角：把"图 + 数据"整体映射为一个数——分数，然后搜索分数最优的图。通用形式：

score(G) = 拟合优度(G) − 惩罚(复杂度(G))

最常用的是 BIC（贝叶斯信息准则）：score_BIC = 极大对数似然 − (参数量/2)·ln n。第二项随样本量对数增长，惩罚每个额外参数，天然抑制多余边。贝叶斯版本 BDeu 在离散数据上给参数加先验，避免空单元导致的似然退化。两者的关键性质是分数等价性（score equivalence）：同马尔可夫等价类的 DAG 得到相同分数——与第 6.1 节的可辨识边界一致，BIC 天生只会指向等价类，不会在数据无法分辨的方向上自欺。

GES：两阶段贪心

搜索空间是超级指数的（10 个节点的 DAG 数量级在 4×10^18），精确搜索只到几十节点。**GES（Greedy Equivalence Search，Chickering 2002）**在等价类空间而非单图空间上做贪心，两阶段：

前向阶段：从空图开始，每步尝试"合并"当前等价类与某个相邻类（等价于加一条边），取分数增益最大者，直到无正增益。

后向阶段：从所得图出发，每步尝试删除一条边（分裂等价类），仍取分数增益最大者，直到无正增益。

在"分布忠实 + 样本充分"的常规条件下，GES 一致收敛到真实的马尔可价等价类。它的可爱之处在于把搜索空间换到等价类上——天然避免在等价类内部做无意义的翻转；比约束型对单次检验误差更鲁棒（分数对整图负责，不因一次检验失手而级联）。代价是：每步增益计算依赖局部分数分解（某条边的增益只涉及马尔可夫毯内的节点），实现复杂；且对"惩罚系数"敏感，样本中等、真模型复杂时容易欠拟合（边被惩罚掉）或过拟合。

# 概念流程：BIC 打分的局部分解（示意）
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(21)
n = 5000
A = rng.normal(0, 1, n)
B = 1.2 * A + rng.normal(0, 1, n)      # 真结构 A→B

# 空模型 vs 一条边 A→B：似然用线性高斯的解析式
def bic_linear(y, X):
    beta, *_ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
    rss = np.sum((y - X @ beta) ** 2)
    ll = -n/2 * (np.log(2*np.pi*rss/n) + 1)
    k = X.shape[1] + 2                 # 系数、截距、方差
    return ll - k/2 * np.log(n)

score_empty = bic_linear(B, np.ones((n, 1)))
score_edge  = bic_linear(B, np.column_stack([np.ones(n), A]))
print(round(score_edge - score_empty, 1))   # 正增益→GES 前向阶段将加这条边
​

约束型 vs 分数型：一张对照表

实践共识：两套都跑，看输出的等价类是否吻合——吻合时可信度大增；不吻合时优先怀疑共同前提（忠实性、混杂完备性），而不是挑顺眼的结果。

搜索空间爆炸的应对

节点上百时的三板斧：分组分层（先用领域知识把变量分组、组间先验排序，把搜索约束成部分序下的空间）；分治（按变量簇分别学局部图再拼接，接受拼接处的方向模糊）；启发式增强（精确搜索在子空间内、贪心在层间移动；或用 NOTEARS 类的把图结构连续化后跑梯度优化——它属分数型的新分支，把"无环性"写成可微约束，后面第 6.3 节顺带提及）。任何情况下，因果发现的输出都应作为"假设候选"而非"结论"交给领域专家复核——这一条在第 8.2 节的工作流程里会再次出现。

FAQ 与实现提醒

问题：BIC 的惩罚太重把真边罚掉了怎么办？

中样本下常见。两个旋钮：惩罚系数从 ln n 手动调低（换 L1 型系数，如 2ln n→2，等价 AIC 化），代价是稀疏性变差；或改用自适应版本（对每条边按其边际似然贡献调惩罚）。无论怎么调，报告都要附"惩罚系数敏感性"——不同惩罚下骨架稳定的核心边才是可信边。

问题：GES 与 NOTEARS 该选哪个？

表格数据、变量数十级、需要可审查的中间过程——GES（或其精确版带缓存版本）。变量上千、想要端到端可微管线——NOTEARS 族。但 NOTEARS 的输出同样只是等价类（线性高斯设定下），把它当"方向全能"是营销话术不是数学。

分数选择的对照表

BDeu 的一个坑值得点名：等效样本量参数取值不同，学出的图可能差很多，汇报结果时应附该参数的敏感性——这是离散数据上 GES 最常见的不稳定来源，比算法本身的贪心误差更常背锅。

本节要点回顾

• 分数结构：似然减复杂度惩罚；BIC 惩罚 (参数/2)·ln n，BDeu 是离散贝叶斯版。
• 分数等价性：等价类同分，BIC 不会假造方向信息。
• GES 两阶段：前向加边、后向删边，在等价类空间贪心，一致收敛。
• 对照结论：PC 与 GES 各有敏感轴，双跑互证是标准动作。
• 下一节：用更强分布假设与时间结构换方向可辨识性。