2.4 复合泊松与 Lévy 过程：带幅度带跳跃的演化

2.4 复合泊松与 Lévy 过程：带幅度带跳跃的演化

本节摘要：现实中的到达常带着"分量"——每次理赔有金额、每笔订单有大小、每次冲击有能量。给泊松过程的每次到达附着独立同分布的幅度，就得到复合泊松过程；再放行一般化的增量分布与跳跃结构，就是 Lévy 过程。本节推导复合泊松的期望方差公式并完成一次保险赔付实务计算，最后给出 Lévy 框架的全景与选型判据。

假设你管理一个车险组合。事故的发生是泊松流（本章前两节已经建模），但精算师关心的是钱，不是件数：每起事故的赔付金额从几千到上百万不等。把"第 n 起事故的赔付额"记为 Yₙ，总赔付 X(t) = Y₁ + Y₂ + … + Yₙ(t)——其中 n(t) 是到时刻 t 的事故件数。这个"随机多个随机变量之和"，就是本节的主角。

复合泊松过程：定义与两条核心公式

定义：设 {N(t)} 是强度 λ 的泊松过程，{Yₙ} 独立同分布且与 N 独立，称 X(t) = Σₖ₌₁ᴺ⁽ᵗ⁾ Yₖ 为复合泊松过程。

它的样本路径是"高低不一的跳跃"：每来一次事件，路径向上（或向下）跳一个随机幅度，幅度彼此不同。期望与方差有闭式公式，推导各用一次全期望公式（1.3 节的发动机首次大功率输出）：

期望：E[X(t)] = λt·E[Y]。推导：先固定件数 n，E[X(t) | N(t) = n] = n·E[Y]（幅度的独立同分布性），再按 P(N(t) = n) 加权求和。

方差：Var(X(t)) = λt·E[Y²]。推导：用方差分解恒等式 Var(X) = E[Var(X | N)] + Var(E[X | N])。给定 N(t) = n 时 X 是 n 个独立幅度之和，方差为 n·Var(Y)；代入得第一项 λt·Var(Y)，第二项 Var(N(t)·E[Y]) = λt·(E[Y])²。两项合并恰好是 λt·E[Y²]，用到了 Var(Y) + (E[Y])² = E[Y²] 的恒等变形。

两个公式共同曝出一个高阶矩事实：复合泊松的总方差由幅度的二阶矩驱动，而不是由幅度方差单独驱动。即使赔付波动很小，只要平均赔付额大，总量的方差照样可观。精算实务里"高频低损"与"低频高损"两类业务的总方差可能一样大，但应对策略完全不同——前者靠规模摊平，后者靠再保险分出。公式告诉你它们何时等价，判断不了该用哪种策略，那是业务问题；但公式能阻止你把两者当成同一种风险。

图：泊松计数与复合泊松总量的路径对比

实务推演：一年再保自留额的粗算

背景：某货运险组合年均出险 40 次（λ = 40 每年），单次赔付 Y 均值 12 万元、二阶矩 E[Y²] = 288（单位：亿分之一百万，随手取的量纲自洽值，重点是方法）。问年度总赔付的均值与标准差。

操作：均值 = λt·E[Y] = 40 × 12 = 480 万元。方差 = λt·E[Y²] = 40 × 288 = 11520，标准差取算术平方根约 107 万元。

解读：总赔付在均值加两个标准差（约 694 万元）以内的概率按正态近似约 97.7%。若公司只准备了 700 万元的赔付储备，大体够用但谈不上宽裕。

变式：赔付分布重尾时（大额事故偶发但金额惊人），正态近似失真，标准差公式照样成立但"两个标准差"远不能代表安全边界。此时改用蒙特卡洛直接模拟总赔付分布（第 5 章的方法），或用切比雪夫界保守兜底。这个变式点破了闭式公式的边界：均值方差永远可算，分布形态另说。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(5150)
years = 200_000
lam = 40.0

# 幅度取对数正态：均值 12 万，刻意调出偏度
# lnY ~ N(mu, sigma)，调整参数使 E[Y] = 12
mu, sigma = np.log(10.0), 0.6
mean_log = mu + sigma**2 / 2
scale = 12.0 / np.exp(mean_log)   # 缩放使 E[Y]=12

counts = rng.poisson(lam, size=years)
totals = np.array([rng.lognormal(mu, sigma, size=n).sum()*scale if n else 0.0
                   for n in counts])

print(f"模拟年度总赔付：均值 {totals.mean():.0f} 万（闭式 480 万）")
print(f"标准差 {totals.std():.0f} 万，99.5% 分位 {np.quantile(totals, 0.995):.0f} 万")
# 典型输出：均值约 480 万；99.5% 分位明显高于 均值加2.6个标准差
# ——重尾让"均值加两倍标准差"的安全叙事失效，分位数才是储备依据
​

Lévy 过程：独立增量的通用机型

复合泊松已经很能干，但仍有两类现象装不进去：一是漂移（路径整体斜着走，如带利息的账户）；二是跳跃无穷密集的情形（有限时间内无穷多次小跳）。把它们一并纳入，就得到 Lévy 过程的定义三件套：从零出发、独立平稳增量、路径右连左极（右连续且左极限存在）。泊松过程、复合泊松、布朗运动、带漂移的复合泊松，全部是 Lévy 过程的特例——它是"独立平稳增量"这个家族的姓。

Lévy–Khintchine 表示把这个家族完全参数化：每个成员由漂移、高斯部分与跳跃测度三个成分决定，跳跃测度区分"有限次大跳"（有限活动性，泊松型）与"无穷多次小跳"（无限活动性，如伽马过程）。这套表示是纯理论资产，本教程不展开推导，但保留一张选型地图：

选型的第一问永远是：路径连续还是跳跃？ 连续走向布朗运动（第 4 章），跳跃走向泊松家族（本章），两者并存则上跳跃扩散。第二问：跳跃次数有限还是无限密集？ 金融价格是有限次（逐笔成交），某些物理扩散是无限次。两问答完，模型族基本锁定。

💡 一个值得记住的直觉：Lévy 过程之于随机过程，好比"所有可能的无穷次独立试验的连续版本"。第 3 章马尔可夫链放弃了平稳增量换取任意状态空间，第 4 章布朗运动是它的高斯特例——整个随机过程版图，一半是 Lévy 家族的内部事务。

补一课：破产概率的工程读法

复合泊松在保险里最要紧的输出不是均值方差，而是"准备金被击穿"的概率——总量 X(t) 首次超过储备线的时刻分布。当泊松流加指数赔付（经典的 Cramér–Lundberg 模型）时，最终破产概率有闭式：指数衰减，衰减速率由保费收入率与赔付率之差决定，安全附加越大衰减越快。这个公式的读法比公式本身值钱：破产概率对安全附加的指数敏感——附加提一成，破产概率可能砍半；附加降一成，破产概率可能翻倍。定价部门与承保部门的谈判，本质上是在这条指数曲线上选点。

没有闭式的场景（重尾赔付、多险种耦合），就走 5.1 节的蒙特卡洛路线：模拟总赔付路径、统计击穿频率、给置信区间。闭式与模拟的关系在这里再次出现——闭式给直觉与量级，模拟给承诺与验收，与排队论一章的分工完全同构。

本节要点回顾

• 复合泊松 = 泊松计数 + 独立同分布幅度，是计数到金额、件数到能量的标准桥梁。
• 两条闭式：均值 λt·E[Y]，方差 λt·E[Y²]——总方差由幅度二阶矩驱动。
• 闭式之外仍要看分布：重尾场景里分位数与模拟胜过均值方差叙事。
• Lévy 过程 = 独立平稳增量 + 右连左极路径，泊松、复合泊松、布朗运动皆是特例。
• 选型两连问：路径连不连续，跳跃密不密集。

至此，"独立增量"这条主线走到尽头。下一章换成另一条依赖规则：下一步只看当前状态的马尔可夫性，全册最庞大的应用家族从那里开始。