9.3 误差分析与敏感性
9.3 误差分析与敏感性
本节摘要：弹道模型的每个输入都带着不确定度：初速有散布、密度测不准、Cd 表有误差。误差分析回答两个问题：输出散布多大（传播），哪个输入最该负责（敏感性）。本节用一次一因子与蒙特卡洛两种方法走完全流程，画出龙卷风图，并给出"精度预算"的分配框架。9.2 节的工具算出弹道，本节的工具评估弹道可信几分。
位置感：全册的误差数字（初速 ±1%、密度 ±10%、风 ±1 m/s）散落各章，本节把它们放进同一个模型里算总账——散布不是各项误差的简单相加，传播有放大也有抵消。
哪个输入在左右落点
先看两个常用方法的面孔。
一次一因子（OAT）：基准工况算一遍，然后每次只把一个输入推到它的误差上限，记录输出的变化幅度——得到每个输入的"单独影响力"。它便宜、直观，产出就是工程汇报里常见的龙卷风图（横条按影响力排序，形如龙卷风）。盲区同样明确：因子间的交互作用（高温+满装药的联合超压）它看不见。
蒙特卡洛：给每个输入按其分布撒随机数（初速按正态、风按实测分布），成千上万次重复计算，落点散布直接统计出来。它天然包含交互作用与非线性，代价是计算量与"分布假设"——输入分布设错，输出的散布就是错的艺术品。
两个方法不是二选一：OAT 先做排序，蒙特卡洛后做定量——排序告诉你哪些输入值得精测，定量告诉你散布圆画多大。
动手：一张龙卷风图的诞生
以 800 米步枪弹道为例，把主要误差源挨个推到上限：
import math def impact_x(v0=850.0, crosswind=0.0, cd_scale=1.0, rho_scale=1.0, dist=800.0): """极简落点模型：纵向吃初速与阻力，横向吃风（滞后时间法）""" g, rho, d, m = 9.8, 1.225*rho_scale, 0.0057, 0.0095 A, Cd0 = math.pi*(d/2)**2, 0.24*cd_scale x = y = 0.0 vx, vy = v0*0.999, 0.0 # 近平射 dt = 0.001 t = 0.0 while x < dist: v = math.hypot(vx, vy) Fd = 0.5*rho*v*v*Cd0*A ax = -Fd/m*vx/v ay = -Fd/m*vy/v - g vx += ax*dt; vy += ay*dt x += vx*dt; y += vy*dt; t += dt # 横向：侧风按滞后时间平移 lag = t - dist/v0 return y, crosswind * lag cases = [ ("初速 +1%（约 8.5 m/s）", dict(v0=858.5)), ("阻力系数 +5%", dict(cd_scale=1.05)), ("空气密度 +5%（冷天）", dict(rho_scale=1.05)), ("侧风 2 m/s", dict(crosswind=2.0)), ] base_y, base_z = impact_x() print(f"基准：弹着高 {base_y:+.2f} m，横向 {base_z:+.2f} m") for name, kw in cases: y, z = impact_x(**kw) print(f"{name}: 纵向 {y-base_y:+.3f} m, 横向 {z-base_z:+.3f} m")
运行的典型结果（量级）：初速 1% 的波动 → 纵向约 1.5% 落点变化（约 3-4 m 量级的弹着差，因为纵向吃的是"距离百分比"）；阻力 5% → 纵向 2-3 m；密度 5%（相当于海拔/温差波动）→ 1-2 m；侧风 2 m/s → 横向约 0.3-0.4 m。排序通常落在：风与初速居首，阻力形状次之，密度殿后——这张排序表就是精度预算的分配依据：想压散布，先买测风与初速雷达，再磨弹形，最后才轮到气象站。
图：误差影响力的龙卷风排序（示意量级）
精度预算：从排序到决策
敏感性分析的产出最终要落进决策。把"预算框架"写全：
- 列清单：所有会动的输入及其不确定度（实测或规范给定）；
- 排序：OAT 跑出龙卷风图，找出长条；
- 压长条：对前两三名投资源（更好的测量、更严的操作纪律、更小的散布源）；
- 复算：压完再跑一遍，看散布圆缩到目标没有——通常前两轮的性价比远高于后几轮；
- 留余量：最终精度声明=模型散布+模型误差+测量误差的合成，别把预算花到零余量。
第 6 章的"花钱次序"（气象免费→修正组件→全程制导）正是这套框架在工程经济上的投影——敏感性排序决定钱往哪花，闭环成本决定怎么花。
常见坑
- 把各误差源做算术相加求"总误差"。独立误差按平方和（RSS）合成，直接相加会高估散布、白花预算；相关误差（如密度与温度同源）才该按代数和走；
- 蒙特卡洛的输入分布拍脑袋。初速按正态没问题（有实测），风按正态就有问题（有偏、有阵发）——分布假设是蒙特卡洛的地基，地基错则楼越高越假。
RSS 合成的一次实算
"平方和合成"值得亲手算一遍，看它与算术相加差多少：
三个独立误差源对某落点的单项贡献（已由 OAT 测得）： 初速散布 → ±1.8 m 风估计误差 → ±1.2 m 弹道系数不确定 → ±0.6 m 算术相加：±3.6 m（悲观到离谱） RSS 合成：√(1.8² + 1.2² + 0.6²) = √(3.24+1.44+0.36) = √5.04 ≈ ±2.2 m
两者差出六成——按算术和做预算，你会为一个并不存在的"3.6 米散布"去追加昂贵的测量设备。再补一句反向提醒：RSS 只对独立误差成立。若初速散布与弹道系数偏差同源（同批弹的装药问题），它们相关，得按代数和或相关系数合成的路子走。拿到一组误差先问"独立吗"，再决定用哪个公式——这句问话值一次错误的采购。
本节要点回顾
- 两方法分工：OAT 排序（龙卷风图）+ 蒙特卡洛定量（散布圆），先排序后定量；
- 典型排序：风与初速居首、阻力形状次之、密度殿后——精度预算照此分配；
- RSS 合成：独立误差按平方和合成，算术相加是白花预算的开始；
- 分布假设是地基：输入分布错，蒙特卡洛的散布就是精确的错误；
- 预算框架五步：列清单→排序→压长条→复算→留余量，前两轮性价比最高。
算得出、评得准，本章还剩最后一块拼图：坦白这门学科尚未解决的问题——下一节把边界牌摊开。