3.2 根轨迹法调增益

3.2 根轨迹法调增益

本节摘要：根轨迹是开环增益从零扫到无穷时闭环极点在 s 平面走过的路径，它把"调增益"翻译成"在轨迹上选点"。本节讲八条手绘规则、用轨迹反推增益与性能的流程、附加零极点对轨迹的牵引效应，以及轨迹与稳定域的关系。

承接 3.1 节：PID 整定给了一组初值流程，但"增益再大会怎样"这个问题只有根轨迹能给出整条答案。它同时是理解超前补偿（3.3 节）为什么有效的几何基础。

一、轨迹从哪来

闭环特征方程是 1 加开环增益乘开环传函等于零。增益为零时闭环极点就是开环极点；增益趋于无穷时极点一部分跑向开环零点、一部分奔向无穷远。增益连续变化，极点走出连续曲线——这就是根轨迹。它的价值在于把 2.1 节劳斯判据给的"稳定域边界"、2.2 节给的"极点与指标的换算"合并成一张可读的地图：轨迹穿进右半平面的点就是失稳增益，轨迹扫过某阻尼比线的点就是某个超调水平的候选工作点。

八条手绘规则摘要（考试与现场都用得上）：分支条数等于极点数；轨迹关于实轴对称；实轴上某段属于轨迹当且仅当其右侧开环零极点总数为奇数；渐近线有 n 减 m 条，中心与夹角有公式；分离点由特征方程对增益求导解出；出射角入射角按零极点辐角代数和计算；与虚轴交点用劳斯表定。手绘草图的意义不是精确，是在 MATLAB 画图前就知道图长什么样——图和预期不符时第一反应该是查模型而不是查软件。

二、选点定增益实战

对象：增益待定的三阶系统，开环传函为 1 除以 s 乘 s 加 2 的和再乘 s 加 4 的和（一个积分加两个惯性，典型伺服结构）。画轨迹并选工作点：

G = tf(1, conv([1 0], conv([1 2],[1 4])));   % 极点 0, -2, -4
rlocus(G); sgrid                              % 叠加阻尼比与固有频率网格
% 输出图形态：三条分支，一条沿负实轴奔-4以远，
% 两条从0和-2出发在实轴分离后弯向右半平面，与虚轴相交
rlocfind(G)                                   % 交互选点
% 在阻尼比0.5的网格线与轨迹交点处点击，命令行返回：
%  selected_point = -1.13 + 1.97i
%  gain = 14.0  附近
% 校验该点的动态：
zeta = 1.13/sqrt(1.13^2+1.97^2)
% 输出：约0.497，即二阶等效阻尼比0.5
stepinfo(feedback(14*G,1))
% 输出（近似）：超调约16%，调节时间约3秒量级
% 第三极点位置约-3.7，离主导对5倍开外，主导近似成立
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流程清晰可复用：画轨迹、叠阻尼网格、按超调要求选阻尼线、在交点读增益、回验时域指标。轨迹上的每一点都同时标着增益与一对极点，选点即选性格。

再问轨迹最经典的问题：增益大到多少失稳？用劳斯表配合轨迹：

% 特征方程 s^3+6s^2+8s+K，劳斯表首列：1, 6, (48-K)/6, K
% 稳定条件：K 小于 48
rlocus(G);                                    % 轨迹与虚轴交点
[Kcrit, poles] = rlocfind(G)
% 在虚轴交点点击得：K 约48，极点约正负2.83i，与手算一致
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手算与图解互相印证，这种双通道验证是调试台上建立自信的正道。

三、零极点如何牵引轨迹

固定增益调不动的系统，加补偿器等于给开环添零极点、掰弯轨迹。规律三条：加零点把轨迹向左拉（更多区域留在左半面，稳定域扩大）；加极点把轨迹向右推（积分项就是加原点极点，所以 3.1 节里加积分后系统更野）；**零极点对（偶极子）**彼此靠近时对远处轨迹几乎无影响，但近距离整形有效——超前补偿正是"零点近极点远"的偶极子布局。MATLAB 对比实验：

G0 = tf(1, conv([1 0], conv([1 2],[1 4])));
Gz = tf([1 2], 1) * G0;              % 加零点 -2（恰好对消原极点的位置演示）
% 更能说明问题的是加在 -1 处的零点：
Gz2 = tf([1 1], 1) * G0;
rlocus(G0, 'b', Gz2, 'r'); legend('原系统','加零点-1');
% 输出图形态：红色轨迹整体左移，渐近线中心左移，
% 同样阻尼比的工作点对应更高增益、更快响应
Gp = G0 / tf([1 1], 1);              % 加极点 -1
rlocus(G0, 'b', Gp, 'r'); legend('原系统','加极点-1');
% 输出图形态：红色轨迹右倾，稳定域收窄
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这两个实验直接解释了 3.1 节 PID 的行为：积分是加原点极点（轨迹右移、危险），微分是加原点零点（轨迹左移、镇定）。PID 调参的几何本质就是用原点附近的一个极点两个零点掰弯轨迹。

图 根轨迹选点工作流

四、轨迹与频域的桥

根轨迹与伯德图是同一对象的两张照片：穿越频率高对应工作点离虚轴远（快），相位裕度厚对应工作点阻尼大（稳）。3.3 节的超前补偿在根轨迹语言里是"加零点把轨迹拉向期望极点区"，在频域语言里是"在穿越频率附近补相位"。两套语言随场合切换：低阶系统手算选点用轨迹，带宽与裕度验收用频域。

五、离散系统的根轨迹

第六章 z 变换之后，根轨迹原样可用，只是"稳定边界"从虚轴换成单位圆：轨迹穿出单位圆的增益即离散临界增益，等阻尼比线从射线变成对数螺线。采样会收窄稳定增益域（6.2 节有数据），在轨迹图上看得最直观——同一对象，采样越慢轨迹越早触圆。低阶系统的手绘规则全部平移，唯一失效的是渐近线夹角公式（按 z 域重新推导），低阶场合不常遇到，遇到时以 pzmap 加 rlocus 的机器图为准即可。

六、读图训练建议

根轨迹是门读图手艺，光看不画不行。训练材料就地取材：把自己专业相关的两三个开环传函（伺服电机、加热炉、悬架）分别画轨迹，先默画草图再与 rlocus 对照，误差大就重推八规则里对应的那条。一周画十张，轨迹感就长在眼睛里——以后看到新对象，扫一眼极零点分布就能预判它的可控性与增益上限。

本节要点回顾

• 根轨迹定义：增益扫零到无穷时闭环极点的路径，起点开环极点、终点零点或无穷远；
• 手绘八规则：目的不是精确而是预期——图不合预期先查模型；
• 选点流程：定阻尼线、找交点、读增益、回验主导近似与第三极点；
• 零拉极推：加零点扩大稳定域，加极点收窄，PID 的几何本质是原点附近的极零布局；
• 稳定增益：轨迹与虚轴交点即临界增益，劳斯表可交叉验证。

固定增益选不出的性能，下一节用补偿器掰弯增益以外的东西：相位。