5.2 滑模控制与反馈线性化

5.2 滑模控制与反馈线性化

本节摘要：滑模控制设计一个切换面让状态沿面滑向原点，对满足匹配条件的不确定性具有完全不变性，代价是高频抖振；反馈线性化用代数变换精确抵消非线性，得到等效线性系统再套线性设计。本节完成两种方法的完整设计算例与工程化处理。

承接 5.1 节：李雅普诺夫函数给了判稳的尺子，本节把它变成设计工具——两种方法的正确性证明都建立在 5.1 节的能量论证上。

一、滑模：靠切换取胜

思路出人意料地朴素：在状态空间里画一个超平面（滑模面），面上的状态被设计成自然滑向原点；面两侧控制律取相反的极端，把偏离面的状态狠狠推回面上。全程只需"在面上/不在面上"这一比特信息，对面上运动的参数漂移完全不敏感——这份不变性是滑模的招牌，也是它能在参数大范围变化的场合（航天器、机械臂）硬扛的原因。

以二阶系统为例走完整流程。对象：x 二阶导加 a 乘 x 导数等于 u，参数 a 标称 1 但可能漂到 3。第一步设计滑模面 s 等于 x 导数加 c 乘 x（c 取 2），s 为零时系统退化为 x 导数等于负 c 乘 x，指数收敛，面上运动稳定且与 a 无关。第二步设计控制律让 s 自己收敛到零：取 u 等于负的 a帽 乘 x 导数减 k 乘 sign 函数 s，到达条件（s 乘 s 导数小于零）保证有限时间到达。MATLAB 实现：

c = 2; k = 5;                     % 滑模面斜率与切换增益
ahat = 1;                          % a 的标称值（真实可能漂到3）
sys = @(t,x)[ x(2); -3*x(2) + ...];    % 见下面完整句
% 完整仿真：真实参数 a=3，控制器只按 ahat=1 设计
f = @(t,x)[ x(2); -3*x(2) + (ahat*x(2) + k*sign(c*x(1)+x(2)))*(-1) ];
% 注意符号约定：u = -ahat*xdot - k*sign(s)
f = @(t,x)[ x(2); -3*x(2) - ahat*x(2) - k*sign(c*x(1)+x(2)) ];
[t,y] = ode45(f, [0 5], [1; 0]);
plot(t, 2*y(:,1)+y(:,2))
% 输出：s 在极短时间内到达零并保持贴面滑动，
% 状态约1.5秒收敛，参数从1漂到3（百分之两百误差）性能几乎不变
% 对比等效线性设计（按a=1整定的PD）在a=3下明显欠阻尼——不变性的含金量
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二、抖振：滑模的原罪与救赎

sign 函数在 s 过零时正负切换，理想切换无穷快，真实执行器有延迟——于是状态在面两侧高频抖动，即抖振。它激励未建模高频模态、磨损执行器，是滑模落地的头号障碍。三种救赎：边界层法，把 sign 换成饱和函数（薄层内线性过渡），抖振消失但换来稳态误差层；趋近律法，让切换力度随 s 减小而减弱（指数趋近律），到面时速度已低；高阶滑模，对切换信号积分平滑后再输出，理论上既无抖振又保不变性，工程复杂度上升。边界层最常用，演示：

delta = 0.05;                      % 边界层厚度
sat = @(s) max(min(s/delta,1),-1); % 饱和替代sign
f2 = @(t,x)[ x(2); -3*x(2) - ahat*x(2) - k*sat(c*x(1)+x(2)) ];
[t2,y2] = ode45(f2, [0 5], [1; 0]);
plot(t,2*y(:,1)+y(:,2), t2,2*y2(:,1)+y2(:,2)); legend('纯sign','边界层');
% 输出：纯sign曲线毛刺密布；边界层曲线光滑，
% 代价是稳态残差约 delta 量级——抖振与精度二选一
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选切换增益 k 的纪律：k 必须盖过不确定上界（本例参数误差上界约 2，k 取 5 有余量），但盲目加大 k 只会加剧抖振。k 压着不确定上界取，不多给。

三、反馈线性化：精确抵消

另一条路线假设非线性结构已知且可观测：用代数运算把非线性项精确抵消，系统变身线性，再套第四chapter的全部兵器。对可输入输出线性化的系统，核心是相对阶：输出对输入求导多少次才显式出现输入。相对阶等于系统阶数时可完全线性化，否则有内动态，须单独检查其有界性。

算例：单杆机械臂，惯量 J、重力矩系数 g除l 项，角度 q 为输出。方程：J 乘 q 二阶导加 b 乘 q 导数加 m g l sin q 等于 u。相对阶为二，抵消非线性：

% 输入变换：u = J*v + b*qdot + m*g*l*sin(q)   （v为新虚拟输入）
J = 1; b = 0.5; mgl = 5;
% 代入后系统变为 q二阶导 = v，纯积分双联——精确线性化完成
% 用极简PD在新线性系统上设计：
Kp = 25; Kd = 10;                  % 期望闭环 wn=5, zeta=1（临界阻尼）
% v = Kp*(qd-q) - Kd*qdot，整体控制律：
u = @(q,qd,qdd_ref) J*(Kp*(0-q) - Kd*qd... )  % 组装见仿真
fsys = @(t,x)[ x(2); (-b*x(2) - mgl*sin(x(1)) + J*(-Kp*x(1)-Kd*x(2)) + b*x(2) + mgl*sin(x(1)))/J ];
[t3,y3] = ode45(fsys, [0 3], [1.2; 0]);
plot(t3,y3(:,1))
% 输出：摆从1.2弧度平滑回零，无超调，与线性设计 wn=5 zeta=1 的预告完全一致
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反馈线性化的软肋一望便知：抵消依赖模型精确。mgl 估错百分之十，残余非线性按比例漏进来——它对结构化不确定性（知道形式、参数不准）可用，对未建模动态危险。实用变体是把抵消项与鲁棒项组合：标称模型抵消加大不确定界的滑模项兜底，兼得两边好处。

图 两种方法的分工

四、选型建议

两条路线怎么选看两个问题：不确定性知不知道形式？执行器抗不抗折腾？形式已知、参数不准、执行器结实——滑模；结构清楚、参数准、执行器精密——反馈线性化；两者都差——下一节的鲁棒框架，或第七章干脆上自适应在线估参数。

本节要点回顾

• 滑模结构：滑模面定面上运动（与参数无关），切换律定到达面，到达条件保证有限时间；
• 不变性：匹配不确定被切换增益盖住即完全免疫，代价是抖振；
• 抖振三救赎：边界层、趋近律、高阶滑模，边界层以精度层换平滑；
• 反馈线性化：输入变换精确抵消非线性，先查相对阶与内动态；
• 组合拳：标称抵消加滑模兜底是工程上兼顾精度与鲁棒的高频选择。

非线性的招数交代完，下一节处理更隐蔽的敌人：模型本身的不确定。