1.1 从弹跳球写最小引擎

1.1 从弹跳球写最小引擎

本节摘要：最小物理引擎不是框架，而是四条状态更新：加速度来自重力，速度累加速度变化，位置累加速度，碰到地面就把法向速度翻面并乘恢复系数。先把这颗球跑稳，再对照完整引擎补上积分器选择、宽相、接触流形和约束求解。动手优先的意思是：先有可观察的运动，再给运动找理论名字。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 写出二维弹跳球的状态结构和单步更新
2. 解释恢复系数、穿透修正、质量倒数各自管什么
3. 指出这颗球相对真实引擎缺了哪些模块
4. 用一张对照表决定下一步该先补碰撞还是先补积分

一、先看见球落地

打开空白循环，不要先建“PhysicsWorld”。只要一个球：位置、速度、半径、质量。每步做三件事——加重力、挪位置、若圆心低于地面加半径则把它抬回去并把竖直速度反向。三件事做完，屏幕上就有一个会跳的点。这一跳比任何架构图都值钱：它暴露了时间步、穿透、能量三个后续全部问题的原型。

把球想成台球桌上的一颗球，重力是桌面微微倾斜。你不会先发明一整套关节库再去推这颗球。你先用手把它推出去，看它撞边时怎么弹。引擎开发同一逻辑：最小可观察现象，再把现象里的错误逐条变成模块。

每一步：
  v ← v + g * dt
  x ← x + v * dt
  若 x.y - r < 地面:
      x.y ← 地面 + r
      v.y ← -v.y * 恢复系数
​

这不是玩具伪代码，这是显式欧拉加最简单的位置投影。游戏里 80% 的“角色落地”早期原型就是这个形状：一个点、一个半空间、一次速度反射。

地面检测用“圆心到平面的有符号距离”。距离大于半径就分开；小于半径就穿透。穿透时两件事都要做：把位置抬到刚好相切，把速度的法向分量按恢复系数缩放。只抬位置不改速度，球会在下一帧继续往下钻，看起来像粘在地上发抖。只改速度不抬位置，球会在地下弹几下才浮上来，模型穿模。

质量现在好像没用，单球撞无限质量地面时，球的质量不出现在公式里。立刻加上是为了下一节两球相撞时你不必回头改结构。习惯上存质量倒数：静止地面倒数是 0，动态体是 1/m，求解器里乘法比除法多，零倒数自然表示无穷质量。

二、把“碰到了”写成数据，而不是 if 迷宫

弹跳球的 if 很快会腐烂。两颗球、一个斜坡、一个活动箱子，分支会爆炸。工业引擎把“碰到了”变成接触记录：法向、穿透深度、接触点、两个刚体索引、摩擦与恢复。求解器只吃接触数组，不关心形状是球还是胶囊。

最小版本可以先只生成一种接触：球对静平面。

Contact:
  bodyA, bodyB     # B 可以是静态地面哨兵
  normal           # 从 B 指向 A，单位向量
  penetration      # 正数表示重叠
  restitution
  friction
​

单步流程变成：积分预测位置 → 生成接触 → 对每条接触把相对速度的法向分量弹开 → 沿法向把穿透分给能移动的那一方。这已经是冲量求解器的漫画版。第 4 章会把“弹开”换成计算冲量标量，再应用到线速度和角速度。

注意顺序：先积分再碰撞。有人喜欢“先检测再移动”，那会把这一帧的运动丢掉。标准实时引擎是预测-校正：积分给出可能穿模的预测，碰撞和约束再把非法部分拧回来。

💡 关键直觉：碰撞检测不负责“看起来对”，它只负责产出接触。看起来对应该由求解器改速度和位置。把两件事混在一个 if 里，后面加摩擦和休眠会改不动。

两球相撞时，反射公式要换成沿法向的相对速度分解。设法向从 B 指向 A，相对速度 vrel = vA - vB，法向分量 vn = dot(vrel, n)。若 vn 已经分离（大于 0）且没有穿透要修，就不要再施加分离冲量，否则会把已经离开的物体再推一把，出现“粘连后弹飞”。恢复系数 e 把碰撞后的目标法向相对速度设为 -e * vn。对心、无摩擦时，冲量大小是 -(1+e)*vn / (invMassA + invMassB)。把这个标量沿 n 加到 A、减到 B，动量守恒自动满足。地面是 invMassB=0 的特例，公式退回“自己弹开”。

不要在这一步引入角速度。旋转是刚体的第二张皮，会把接触点从“球心沿法向”变成“表面上的杠杆臂”，冲量开始产生转矩。球可以先当质点。等质点堆箱子稳定了，再给盒子加方向和惯性张量，否则你分不清是积分炸了还是角冲量写错了。

休眠可以很早加：速度低于阈值连续若干帧，就把物体标睡，跳过积分。地面上的球停住后不睡，会因浮点残差一直微微颤，接触生成每帧都跑。阈值要带单位意识：用米/秒，不要用“像素/帧”。睡下去的物体被新接触碰到时要立刻醒，否则箱子砸到睡着的地板会穿过去。

三、对照完整引擎，决定补丁顺序

把最小球和产品引擎并排，缺口一目了然。缺口不要一起补。积分不稳时加宽相没有意义；接触数据还不存在时写 PGS 求解器是空转。

补丁顺序之所以把时间步放在积分器前面，是因为欧拉在变化的 dt 下会表现出“有时稳有时炸”，你会被误导去调重力或恢复系数。先把 dt 钉死，爆炸如果还在，才是积分器的锅。

穿透修正有两种常见写法。硬投影：直接改位置，简单，破坏动量，堆箱子时底层会慢慢下沉或抖动。鲍姆加特稳定化：不直接改位置，而在速度层加一项 bias = penetration * beta / dt，让求解器在若干帧内“挤”出穿透。弹跳球阶段用硬投影没问题，箱子一多就要换成偏置速度，否则会看到底层箱子被压进地面再弹出来。偏置系数 beta 通常 0.1 到 0.3，太大变弹簧，太小穿透消除太慢。

恢复系数不要设成 1。数值误差会让能量往上爬，球越跳越高。0.2 到 0.6 适合游戏箱子，0.8 以上要配合更稳的积分和位置修正上限。还有一个“碰撞阈值”：法向相对速度若只是轻微接触（比如已经几乎静止地搁在地面），不要按弹跳处理，否则物体永远睡不着。很多引擎把相对速度低于 1 米每秒的接触当成非弹性，e 当 0 用。

图 弹跳球状态机

静态几何用哨兵刚体还是单独的“世界碰撞器”列表？两种都行。哨兵刚体让求解器走同一套双刚体公式，代码少分支；缺点是静态物体也会占刚体槽。大型场景通常刚体表只放动态和运动学物体，静态网格走单独宽相。弹跳球用一个 staticGround 哨兵就够，invMass=0，速度恒 0。

运动学物体是第三种：位置由动画或玩家输入写，物理不积分它，但别的物体可以撞它。电梯、移动平台属于这一类。最小引擎可以暂不实现，但字段上留一个 type：动态、运动学、静态。后面角色控制器会用到运动学胶囊。

⚠️ 常见坑：用像素当单位，重力写成每帧加 0.5。换分辨率或帧率，全世界的“质量感”都变。从第一行就用米和秒，屏幕缩放留给摄像机。

调试输出现在就可以加：画速度向量、画接触法向、打印动能。动能在无阻尼弹跳里应缓慢下降（数值耗散）而不应上升。上升就是时间步或反射写错。第 7 章会把这些画线升级成接触热图，但习惯要在第一颗球时养成。

单位再强调一次。重力取 9.81 米每二次方秒，球半径 0.2 米，dt 1/60 秒，恢复系数 0.4，这样跳两下就会明显衰减，适合观察。若你把半径写成 20“像素”、重力写成 0.5，你其实在另一套匿名单位里调参，以后和渲染、动画对不上。物理世界用米，屏幕用像素，中间只有一个投影系数。

单球稳定后，复制出第二个球，让它们用上面的对心冲量互撞。不要急着加盒子。两球互撞能验证质量倒数、法向方向、分离速度符号。常见符号错误：法向从 A 指向 B 却按“加到 A”来施加冲量，两球会吸在一起。画出法向箭头，箭头必须从接触点指向被推开的那个球。

这一节结束时，你手里应该有：一个固定结构的刚体记录、一个接触记录、一个“积分-生成接触-反射-投影”的函数。它还不是引擎，但它已经能失败——失败的方式（穿地、越跳越高、互撞粘连）会告诉你下一章该看哪。这比先读完线性代数更接近真实工作。

一节小结

• 最小引擎是四条更新：重力、积分、接触、反射加投影，不是类继承树。
• 接触是数据：法向、穿透、两个索引；求解器只吃数组。
• 质量存倒数：静止体为 0，动态体为 1/m，公式更干净。
• 先钉单位和时间：米和秒，从第一颗球就开始，像素只属于摄像机。
• 对照表决定补丁顺序：先固定 dt，再换积分器，再上宽相和冲量，不要并行开六道。
• 休眠要可唤醒：睡着的物体被撞必须立刻参与求解。
• 动能是第一张体检表：无故上升就停下来查积分和反射，不要继续加功能。

下一节把渲染帧时间从这条循环里拆出去，用累加器喂固定步长，让卡顿不再变成物理爆炸。