4.4 断点回归：规则门槛处的因果识别
4.4 断点回归：规则门槛处的因果识别
本节摘要：断点回归（RDD）利用"处理由评分是否越过门槛决定"的规则：门槛两侧紧邻的个体在可交换性上近似随机，比较两侧结果即可识别局部因果效应。本节讲清两种设计（精确与模糊断点）、连续性假设、局部线性估计与带宽选择、McCrary 密度检验与协变量平滑性检验。
规则制造的"自然随机化"
大量制度按分数划线：考试过线才录取、年龄满 18 岁才可购买、污染指数超阈值才限行、销售额达门槛才返点。划线规则有个因果推断视角的美妙性质：分数恰好 59.9 与恰好 60.1 的两个人，在一切未测特征上几乎无差别——毕竟没人能把自己精确控制在总分小数点后一位。门槛两侧的"硬币"由评分的微小随机波动抛出。这就是精确断点回归（SRD）：处理 X = 1{评分 Z ≥ 门槛 c}，识别量是门槛处的局部平均处理效应：
τ(c) = E[Y | Z=c⁺] − E[Y | Z=c⁻]
即结果关于评分的条件期望在门槛处的左右跳跃量。
**模糊断点（FRD）**处理"过线只是提高概率"的情形：过线者不一定都接受处理（如推荐信过线后部分人仍放弃手术）。此时门槛是处理的工具变量（第 4.5 节的 IV 语言），效应由"结果的跳跃"除以"处理概率的跳跃"估出：τ_FRD = [E(Y|c⁺)−E(Y|c⁻)] / [E(X|c⁺)−E(X|c⁻)]。这个比值形式被称为wald 估计量，模糊断点是最早也最干净的工具变量场景之一。
图：断点回归的局部线性估计
核心假设与三类诊断
连续性假设：E[Y(0)|Z] 与 E[Y(1)|Z] 在门槛处连续——所有其他因素都平滑穿过门槛，只有处理在跳跃。它无法直接检验，但有两个代理检验构成 RDD 的可信度地基：
诊断一：评分密度连续性（McCrary 检验）。 若个体能精确操控自己的评分（复读生把自己卡在及格线上方一分），门槛左侧会异常稀疏。画出评分的直方图并检验密度在门槛处无跳跃，等价于检查"没有人精准落点"。
诊断二：协变量平滑性。 前测协变量（性别、基线收入、过往成绩）的条件期望应在门槛两侧无跳跃。若某个前测变量也"跳"，说明跳跃的不是一个处理而是整个人群结构，识别告吹。
诊断三（设计层面）：不许有其他政策在同门槛生效。 多重断点（不同地区门槛不同）时可以分别估计再汇总，但两个政策叠在同一门槛上则效应无法分离。
估计与带宽
主流做法是门槛两侧分别拟合局部线性（一阶）回归，跳跃量即效应。多项式全局拟合已被反复证明危险（高阶多项式在边界产生伪跳跃，Runge 现象），除非有明确理由，阶数不超过二。带宽 h 的选择决定偏倚—方差交换：经验法则与自动选择器（CCT、IK）给出 MSE 最优带宽，且推断时用鲁棒偏倚修正标准误。敏感性分析的标配是画效应随带宽变化的曲线，看结论是否稳。
一个数值化的直觉：设门槛两侧各 0.5 分范围内有 800 人，结果变量标准差 10，真实效应 2。局部线性估计的标准误大约在 10·√(1/400+1/400)≈0.7 上下——效应 2 能被稳定识别。但若真实效应只有 0.5，同样样本就力不从心。RDD 估的是门槛处的局部效应，外推到远离门槛的人群需要额外的同质性论证，这是它相对全样本方法的范围代价。
概念实现
# 概念流程：SRD 局部线性估计（示意） import numpy as np Z, Y = score, outcome # 评分与结果 c, h = 60.0, 5.0 # 门槛与带宽 mask = np.abs(Z - c) <= h d = (Z >= c).astype(int) # 门槛右侧即处理 # 交互回归：Y ~ 1 + Zc + d + Zc*d，Zc = Z - c（中心化避免共线） Zc = Z[mask] - c; dm = d[mask]; Ym = Y[mask] X = np.column_stack([np.ones(mask.sum()), Zc, dm, Zc*dm]) beta, *_ = np.linalg.lstsq(X, Ym, rcond=None) print("效应估计 =", round(beta[2], 3)) # dm 的系数即门槛处跳跃
模糊断点把 d 当工具：第一阶段回归 d 对 Zc（跳跃 beta2 除以处理跳跃），两阶段合并即 Wald 比值。
FAQ 与自检清单
问题：怎么判断该用精确还是模糊断点？
看越过门槛后处理概率的跳跃。全有全无（过线必处理）是精确；概率从 30% 跳到 70% 是模糊。诊断图：处理率对评分的局部线性图，门槛两侧的跳跃即第一阶段。模糊断点别忘了第一阶段跳跃除尽（它就是 IV 的第一阶段，同样要做强度检查）。
问题：RDD 结果会受"局部性"多大限制？
它估的是门槛附近人群的 LATE。若决策关心远端人群（比如录取线附近效应小、但高分段效应大），需要论证效应函数的平滑外推或补多点断点（不同省份不同线）拼出整条剂量反应。报告里写清"效应属于谁"是 RDD 论文的职业道德。
问题：审稿人最常要的三张图？
评分密度图（McCrary）、协变量平滑图（前测变量逐一画断点）、带宽敏感性曲线（效应随带宽的稳定带）。三张齐了，设计的可信度就立起来了大半。
模糊断点的数值示例
接正文 FRD 公式给一组数：过线后接受处理的概率从 0.45 跳到 0.85（第一阶段跳跃 0.40）；结果发生率从 22% 跳到 30%（结果跳跃 8 个点）。FRD 效应 = 0.08 / 0.40 = 0.20——对"因过线而真的改变了处理状态的人"（compliers，占过线者的八成半）效应 20 个点。注意它既不是"全人群效应"也不是"处理组效应"，解释时必须带上 compliers 定语。第一阶段跳跃 0.40 相当强（类比 IV 的 F 检验），若跳跃只有 0.05，同样的结果跳跃会给出荒谬的 1.6 效应——模糊断点的第一段永远先于第二段检查。
本节要点回顾
- 识别逻辑：规则门槛两侧的个体近似可交换，结果期望的跳跃即局部效应；模糊断点 = 门槛作工具变量的 Wald 比值。
- 连续性假设：不可直接检验，靠评分密度（McCrary）与前测协变量平滑性两个代理诊断支撑。
- 估计纪律：局部线性 + 最优带宽 + 偏倚修正标准误；拒绝高阶全局多项式。
- 范围限定：只估门槛处的 LATE，外推需另行论证。
- 下一节：门槛之外找外生变动源的通用工具——工具变量。