4.5 工具变量：识别、强度与弱工具检验

4.5 工具变量：识别、强度与弱工具检验

本节摘要：工具变量（IV）通过一个只通过处理影响结果、且独立于混杂的外生变动源，识别未测混杂下的因果效应。本节给出 IV 三条件（相关性、排他性、外生性）、两阶段最小二乘的实现、第一阶段 F 统计量大于 10 的弱工具经验线及其由来、过度识别检验，以及 LATE 解释范围。

三条件：一个好工具的画像

当混杂 U 测不到、后门与前门都走不通时，还有最后一条路：找一个只影响"是否接受处理"、本身与结果无直接关系的变动源 Z。IV 的三条件用因果图语言写清楚：

相关性（relevance）：Z 与 X 相关，图上 Z→X。可检验——看第一阶段回归。

排他性（exclusion）：Z 只通过 X 影响 Y，图上不存在绕过 X 的 Z→Y 路径。不可检验，靠设计论证。

外生性（independence/exogeneity）：Z 与混杂 U（从而与潜在结果）独立。不可检验，靠设计论证。

图：工具变量的图形状

经典工具的三个来源值得记熟，因为它们是三条件的现成模板：天然随机（抽签参军、彩票中签、出生季度影响受教育年限）；制度规则（录取分数线、距离造成的医院差异）；外部冲击（降雨量影响水稻收成进而影响经济指标）。注意每个来源的排他性论证各有一个著名争论（参军影响退伍后收入的不只是教育；距离同时关联医院质量），IV 的可信度几乎完全押在设计论证的质量上。

两阶段最小二乘与 LATE

标准实现是两阶段最小二乘（2SLS）：第一阶段 X 对 Z 回归拿到拟合值 X̂（只保留 X 中由 Z 驱动的那部分变异——恰好是被混杂 U 污染最少的部分）；第二阶段 Y 对 X̂ 回归，系数即 IV 估计。一元内生、一元工具时等价于比值估计 β̂_IV = Cov(Z,Y)/Cov(Z,X)，直觉是"Z 引起的 Y 变化 ÷ Z 引起的 X 变化"。

解释范围上，在效应异质且个体按自身收益选择性接受处理时（Monotonicity 假设：工具只会把人往一个方向推），IV 估计的是局部平均处理效应 LATE——只针对"会因 Z 而改变行为的那群人"（compliers）。抽签参军的例子：LATE 只讲"因为抽中签而入伍的人"，不涉及"无论如何都入伍"与"打死不入伍"的人。汇报 IV 结果时写清"效应属于谁"，比报出一个精确数字更重要。

弱工具：F > 10 经验线

三条件里只有相关性可检验，而它的失效模式——弱工具——后果远比想象严重。当 Z 与 X 仅微弱相关时，第一阶段拟合值 X̂ 几乎全是噪音，2SLS 偏倚朝着 OLS 偏倚的方向塌缩，且工具越弱塌缩越彻底；更糟的是常规标准误严重低估，置信区间覆盖率崩塌。经验诊断线来自 Stock 与 Yogo 的研究：第一阶段 F 统计量大于 10，弱工具偏倚大致控制在可容忍范围；F 在 10 附近时即便达标也应报告对弱工具稳健的推断（Anderson-Rubin 检验），F 明显小于 10 的结果宁可不做解释。

数字直觉压一下"偏倚塌缩"：设 OLS 偏倚为 B、工具与混杂相关为 ρ。2SLS 的渐近偏倚近似 ρ·B / (Corr(Z,X) 的平方根因子)。Corr(Z,X)=0.3 时偏倚保留约三成 OLS 偏倚乘上相关项；Corr(Z,X)=0.05 时几乎完整继承 OLS 偏倚还叠加巨大方差。弱工具不是"精度低一点"，是结论整体失效。

过度识别检验（Sargan/Hansen J）在工具多于内生变量时可用：若所有工具都排他，用不同工具得到的估计应一致，J 统计量检验这种一致性。它只能发现"至少一个工具有问题"，不能指出是哪个，且工具全错在同方向时检验失效。

概念实现

# 概念流程：2SLS + 第一阶段诊断（示意）
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3)
n = 3000
U = rng.normal(0, 1, n)                    # 未测混杂
Z = rng.normal(0, 1, n)                    # 工具：与 U 独立
X = 0.6 * Z + 0.4 * U + rng.normal(0, 1, n)   # 处理：受工具与混杂共同影响
Y = 2.0 * X + 1.5 * U + rng.normal(0, 1, n)   # 真实效应 2.0

# 第一阶段：F 检验（这里约等于 t 的平方，远大于 10）
beta1 = np.cov(X, Z)[0, 1] / np.var(Z, ddof=1)
resid = X - beta1 * Z
se1 = np.sqrt(np.var(resid, ddof=1) / (np.var(Z, ddof=1) * n))
F = (beta1 / se1) ** 2
print("第一阶段F =", round(F, 1))          # 典型值 1000+，强工具

# 比值估计
beta_iv = np.cov(Z, Y)[0, 1] / np.cov(Z, X)[0, 1]
print("IV估计 =", round(beta_iv, 3), "（对照OLS:", round(np.polyfit(X, Y, 1)[0], 3), "）")
# 典型输出：IV≈2.0 贴真值；OLS≈2.2+ 被混杂抬高
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FAQ：工具变量的实务质疑

问题：F 统计量刚过 10 就够了吗？

不够放心。F=10 对应的偏倚上限约为 OLS 偏倚的一成，但那是渐近上界；样本中等时用对弱工具稳健的推断（Anderson-Rubin CI）替代 2SLS 的常规标准误更稳妥。近年文献甚至建议把经验线提到 F>104（有效F的更严标准）再放心用常规推断——工具弱时宁可报 AR 区间也别报 2SLS 星号。

问题：多个候选工具，先做过度识别检验再挑？

危险操作。先看检验再挑工具等于用数据选假设（specification searching），J 检验的显著性水平失效。正确顺序：设计与理论先定工具集，检验只作为整体诊断；若 J 拒绝，逐个分析哪个工具有独立通道，删除理由要写成设计论证而非数据驱动。

问题：工具是"随机"的就万事大吉？

随机性只保证外生性，排他性是另一条。抽签随机，但若中签本身改变行为（通知本人"你被选中"产生霍桑效应），排他性已被破坏。每一个 IV 论文的核心段落都应当是对排他性的机制性论证，这句话值得抄进模板。

本节要点回顾

• 三条件：相关性可检验、排他性与外生性只能靠设计论证；工具来源三模板（随机、规则、冲击）。
• 2SLS 机制：拟合值只保留外生变异；一元情形等价比值估计。
• 弱工具纪律：第一阶段 F > 10 经验线；弱工具偏倚向 OLS 塌缩且标准误失真，F 附近补 Anderson-Rubin。
• LATE 解释：效应只属于 compliers，汇报时写明人群。
• 下一节：所有方法共享的软肋——未测混杂，用敏感性分析把它量化。