6.1 经济调度与等耗量微增率准则
6.1 经济调度与等耗量微增率准则
本节摘要：若干台成本特性不同的机组共同承担一个总负荷，怎么分配最省燃料？等耗量微增率准则给出优雅答案：各机组按"最后一千瓦时的边际成本相等"分摊，总成本最小。本节用拉格朗日乘子法推导这条准则，完成两机组分配的完整手算，并处理网损修正与机组限值两个现实修正。
问题与直觉：为什么"各让一步"最省
先建立直觉。两台机组 A 和 B，A 的边际成本低（比如高效大煤机），B 的边际成本高（比如老小机组）。当前分配下 A 的边际成本 280 元/兆瓦时、B 的是 350 元/兆瓦时。做个思想实验：让 A 多发 1 兆瓦、B 少发 1 兆瓦（总负荷不变）——总成本变化 280 − 350 = −70 元，更省了。继续转移，A 的边际成本随出力上升（煤耗曲线的凸性）、B 的下降，直到两者相等——再转移就亏了。边际成本拉平的那一点就是总成本最低点，这与"两个连通容器水位相平时达到静止"是同一数学结构：极值处各通道的边际代价一致。
拉格朗日推导：三行得到准则
把直觉写成数学。目标：最小化总燃料成本 F = ΣFi(Pi)，Fi 为机组 i 的成本特性，常用二次函数 Fi = ai·Pi² + bi·Pi + ci。约束：ΣPi = PD（忽略网损时的功率平衡）。
构造拉格朗日函数 L = ΣFi(Pi) + λ·(PD − ΣPi)，对每个 Pi 求导置零：
dFi/dPi = λ （对所有在线、未到限值的机组成立）
dFi/dPi 即耗量微增率（边际成本），λ 是系统统一的边际电价影子。这就是等耗量微增率准则。对二次成本特性，dFi/dPi = 2ai·Pi + bi，代入准则直接解出分配：
Pi = (λ − bi) / (2ai)
λ 由功率平衡方程反解：Σ(λ − bi)/(2ai) = PD。
图：等耗量微增率的图解
完整手算：两机组分 700 兆瓦
机组 A：FA = 0.012PA² + 8.0PA + 600（成本单位元/时，功率兆瓦）；机组 B：FB = 0.018PB² + 7.5PB + 400。总负荷 700 兆瓦，忽略网损。
第一步写微增率：dFA/dPA = 0.024PA + 8.0；dFB/dPB = 0.036PB + 7.5。第二步令其相等并加功率平衡：0.024PA + 8.0 = 0.036PB + 7.5，PA + PB = 700。由第一式 0.024PA = 0.036(700 − PA) − 0.5，解得 0.06PA = 25.2 − 0.5 + ... 展开计算：0.024PA + 8.0 = 25.2 − 0.036PA − 0.5 → 0.06PA = 16.7 → PA ≈ 278 兆瓦，PB ≈ 422 兆瓦。回代 λ = 0.024×278 + 8.0 ≈ 14.7 元/兆瓦时……（本例成本系数单位按演示口径）。验算直觉：B 的 b 系数更低（起步更便宜）但二次系数更大（爬得更陡），最优解里 B 依然承担了更大份额——分配由整条边际曲线决定，不是只比"谁的煤便宜"。若再解一个凸优化问题验证总成本，可以确认这一点在转移前后成本差为零（等微增率处一阶导消失）。
第三步核对限值：若 B 的上限是 400 兆瓦，上面的 PB = 422 越限——顶格处理：PB 钉在 400，剩余 300 兆瓦由 A 承担，此时 λ 变为由 A 单独决定（0.024×300 + 8.0 = 15.2），两机组微增率不再相等——等微增率准则只对"未到限值的机组"成立，这是手算与程序实现都必须处理的边界。
现实修正一：网损微增率
网损不可忽略时，功率平衡改为 ΣPi = PD + Ploss(P)，Ploss 依赖全网的出力分布（回想 3.4 节：损耗由潮流路径决定）。拉格朗日推导多出一项，准则修正为：
dFi/dPi = λ·(1 − ∂Ploss/∂Pi)
∂Ploss/∂Pi 是网损微增率：机组 i 多发一兆瓦时全网损耗的变化率。远端机组网损微增率高，等效"折价"；靠近负荷中心的机组享受"升水"。工程实现里 ∂Ploss/∂Pi 用雅可比矩阵信息算（B 系数法是经典近似）。这项修正把"就地平衡更省"的直觉（3.4 节）数学化了：远距离送电的机组要在边际成本上打过折扣才能与近端机组公平竞争。
从准则到产品
等耗量微增率不是考古文物。电力现货市场的边际出清、AGC 分层的经济分配、综合能源系统的热电分配，内核都是"边际相等"或其带约束的扩展（下一节的 LP/QP）。理解这一节，等于拿到了打开后续三节的钥匙。
补一个数据源头的问题：机组的耗量特性从哪来？理论靠性能试验（不同负荷点的燃料消耗实测拟合二次曲线），实际运行中特性会漂移——煤质变化、设备老化、季节真空系统性能都让曲线挪位。调度用的成本曲线因此要定期校核：用实际发电量与燃料账单反推各机组实际煤耗，与申报曲线比对，偏差大的机组安排试验。市场环境下这是双重要害：成本曲线既影响自己的报价竞争力，也构成行使市场力的工具——虚报成本曲线是市场监控的重点行为。一条二次曲线的两个系数，牵着物理性能、经济利益与市场监管三根线，这就是为什么"机组特性数据管理"是一门严肃的行当。
追问与辨析
水火电协调怎么扩展准则？水电的"燃料"是水库水量：水头与流量构成成本特性，且水量有跨时段约束（今天用了明天就少）。把拉格朗日乘子按时间展开，水电站的水价乘子随水库水位与时段变化，准则升级为"火电按微增率、水电按水价乘子、跨时段水量守恒"的动态最优——经典的水火电协调方程，本质是 6.1 准则加时间维度。等微增率在新能源时代还成立吗？成立但主角换人：边际成本近乎为零的风光永远排在供给曲线最左端，等微增率逻辑变成"风光顶格、其余机组在剩余负荷上拉平"——准则没变，解的结构变了。
本节要点回顾
- 准则：未到限值的在线机组耗量微增率相等时总成本最小，拉格朗日乘子 λ 即系统边际成本。
- 凸性前提：成本特性需递增凸（二次函数典型），否则可能出多解或逆向转移。
- 限值处理：越限机组顶格出力、退出等微增率体系，剩余负荷在自由机组间重新拉平。
- 网损修正：dFi/dPi = λ(1 − ∂Ploss/∂Pi)，网损微增率给远端机组"折价"，就地平衡的数学表达。
不考虑网络的最优分配已经解决。下一节把线路与电压约束拉进问题，进入最优潮流。