4.2 FM 解调流程与 Python 实现

4.2 FM 解调流程与 Python 实现

本节摘要：FM 把信息装在瞬时频率里，而瞬时频率等于相位的导数。复数样本让求导变成"相邻样本的相位差"，这就是正交鉴频——全书出场率最高的解调算法。本节给出公式推导、完整 FM 广播接收实现、去加重处理，以及用第 3 章样本文件离线复现的完整实验。

算法原理：三行公式讲完鉴频

载波写作复数形式 A·exp(jφ)，瞬时频率就是相位对时间的导数 dφ/dt。数字序列里导数用差分近似：第 k 个样本的相位减第 k-1 个样本的相位，除以采样间隔。于是解调输出 = angle(conj(z[k-1]) * z[k])——把相邻两个复数样本的共轭相乘再取辐角，一步同时完成共轭与除法。这个式子的妙处在于无需显式计算相位、无需处理 2π 跳变的缠绕问题（辐角差天然落在正负 π 内），一次乘法搞定。

前提是信号必须已被搬移到零频且限带：若信号中心偏离零频 φ1，输出会叠加一个恒定直流偏置（对应固定频偏），所以解调前要确认频谱里信号居中；带外强噪声进入乘法会产生拍频噪声，所以鉴频前的低通滤波不是可选项而是必需品。完整流程是：数字下变频到零频、低通限带、抽取到合适数率、正交鉴频、去加重、音频输出。

图：FM 正交解调的信号处理流程

实弹：离线解调 FM 广播

用第 2 章采集的 98 MHz 样本文件离线解调——离线的好处是可以反复跑、随时改参数，是实验期最有效率的方式：

import numpy as np
from scipy.signal import firwin, lfilter
import wave

fs = 2.048e6
raw = np.fromfile("fm_band.iq", dtype=np.uint8).astype(np.float32) - 127.5
iq = (raw[0::2] + 1j * raw[1::2]) / 128.0

# 一、限带：保留 200 kHz 信号，抑制邻台
taps = firwin(255, 200e3 / (fs / 2))
iq = lfilter(taps, 1.0, iq)

# 二、正交鉴频：相邻样本共轭相乘取辐角
demod = np.angle(iq[1:] * np.conj(iq[:-1]))

# 三、抽取到 48 kSPS 音频（约 42.7 倍，取 42）
audio = demod[::42]

# 四、去加重：一阶低通，时间常数 75 微秒（中国与欧洲标准）
a = np.exp(-1 / (75e-6 * 48000))
audio = lfilter([1 - a], [1, -a], audio)

# 五、归一并写 wav
audio = audio / (np.abs(audio).max() + 1e-9) * 0.9
with wave.open("fm_audio.wav", "wb") as w:
    w.setnchannels(1); w.setsampwidth(2); w.setframerate(48000)
    w.writeframes((audio * 32767).astype(np.int16).tobytes())
​

听感检查清单：音量正常但有"沙沙"高频噪声，多半是去加重没做或时间常数取错（北美标准是 75 微秒，部分亚洲广播曾用 50 微秒，两种都试试）；声音周期性"卡顿"是抽取比取整误差累积，换成 scipy 的 resample_poly 更严谨；整段静音先回去看频谱确认信号确实在中心——偏 50 kHz 就足以让鉴频输出变成低电平噪声。

为什么 FM 听起来比 AM 干净

实验后值得把现象连回理论。FM 恒包络，幅度噪声在鉴频前就被"与幅度无关"的相位运算天然抑制；而 AM 的信息就在幅度上，噪声与信息同路，无法分离。FM 用带宽换抗噪：占用约 180 kHz 带宽（AM 只要 10 kHz），换来幅度噪声免疫，但存在门限效应：信噪比低于门限（约 10 dB）时输出噪声急剧恶化——这就是弱 FM 电台"不是清晰就是全噪声"的原因。第 8 章收气象卫星 APT（宽带 FM 体制）时，你会再次与门限效应打交道：天线增益差一点，图像就是雪崩式劣化。

去加重的来龙去脉也值得一句：调频噪声的功率谱随频率上升（高频噪声更重），发射端预先把高频"抬升"（预加重），接收端再用对称的低频提升网络"压回"（去加重），噪声被压的同时高频音乐成分复原——75 微秒就是那个 RC 网络的时间常数。没有去加重的 FM 听起来高音发刺，正是高频噪声未压制的听感。

常见问题

问题：为什么鉴频前一定要把信号搬到零频？

正交鉴频输出的是"相对中心频率的偏移"，这个中心由样本流自己定义。若信号实际偏了 30 kHz，输出会叠加一个 30 kHz 的直流偏置，音频里表现为持续的哼声并压缩有效动态范围。先居中再鉴频，或者鉴频后减去长期均值（等效于去直流），两种做法都能救，前者更干净。

问题：采样率不足时 FM 解调会发生什么？

FM 信号的最大相位变化率受最大频偏限制：广播 75 kHz 频偏要求相邻样本相位差小于 180 度，即采样率高于 2 乘 75 kHz 加信息带宽，实际留余量取 200 kSPS 以上。采样率不足时相邻相位差超过正负 180 度，辐角函数按缠绕后的值输出——声音里出现刺耳的"折叠噪声"，这是 FM 独有的失败模式。

问题：能用这套代码解调窄带对讲机信号吗？

可以，改三个参数：低通截止从 100 kHz 降到 5 kHz、抽取比按设备采样率与 25 kSPS 音频速率的比例重算、去加重时间常数部分制式为 750 微秒。窄带信号带宽小 8 倍，单位带宽信噪比随之改善——同样的天线，对讲机往往比广播收得清楚。

问题：能不能只用 I 路或只用 Q 路解调？

不能，丢了正交分量就丢了相位旋转方向。只用一路实数信号，正负频偏在数学上不可区分，鉴频输出会正负混淆、波形翻折。I 与 Q 合起来才构成完整的"旋转指针"——这也是所有相干解调都基于复数运算的根本原因。

问题：解调输出的幅度为什么忽大忽小？要紧吗？

正交鉴频输出正比于"频偏乘信号幅度"，信号衰落时输出随幅度起伏，音量跟着飘。严格的做法是鉴频前做 AGC 把幅度归一，鉴频输出就只反映频偏。离线实验里简单归一再播放即可；做长时记录时建议加上限幅或软限幅，防止信号突发增强时音频削波。

本节要点回顾

• 正交鉴频公式：相邻样本共轭乘积取辐角，一步得到瞬时频偏。
• 鉴频三前提：信号居中（否则输出带直流偏置）、已限带（否则拍频噪声）、采样率高于两倍频偏（否则相位跳变缠绕）。
• 去加重 75 微秒：压掉随频率上升的调频噪声，音质立刻改观。
• 门限效应：弱信号下 FM 的"非清晰即全噪"，源自鉴频的非线性。

模拟调制到此打通。最后一节进入数字世界：星座图上那些云一样的点，如何变成一串比特。