3.1 矩阵分解与LU分解

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3.1 矩阵分解与LU分解第三章：数值线性代数基础 — 3.1 矩阵分解与LU分解引言：从线性方程组说起在科学计算的广阔天地里，线性代数是支撑其骨架的核心支柱。无论是物理模拟、机器学习、金融建模还是图像处理，我们总绕不开一个古老而永恒的问题——求解线性方程组： $$ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} $$ 其中，$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是系数矩阵，$\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ 分别是未知向量和常数项向量。当 $n$ 很小的时候，高斯消元法足以胜任。然而，随着问题规模增大，直接使用高斯消元不仅效率低下，还容易积累舍入误差。